知识、考点、题型篇——练透高考必会题型（理）
6．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的14→→→→
两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN (m，n>0)，则＋的最小值为( )
mn9
A．2 B．4 C. D．9
2
12→→→
7．(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实
23数)，则λ1＋λ2的值为________．
→→→
8．(2013·四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________. 9．(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.
m→→→→→→→10．在平面内，已知|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则＝________.
n→→→
11．已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线； (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
→→→
12．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线； →→
(3)若t1＝a2，求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值．
第24练 关于平面向量数量积运算的三类经典题型
[内容精要] 平面向量数量积是平面向量中的一种重要运算，有着非常广泛的运算，尤其是在计算夹角和向量的模时无可替代，要准确记忆公式． [典例剖析]
题型一 平面向量数量积的基本运算
→→
例1 已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA·PB的最小值为( ) A．－4＋2
B．－3＋2 C．－4＋22 D．－3＋22 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角
π5ππ2π例2 若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为( )A. B. C. D. 6633题型三 利用数量积求向量的模
→→
例3 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为________． [精题狂练]
1．(2014·课标全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于( )A．1 B．2 C．3 D．5 2．(2014·四川)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2
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???x，x≥y，?y，x≥y，
3．(2014·浙江)记max{x，y}＝?min{x，y}＝?设a，b为平面向量，则( )
??y，x A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂→→→ 线l，P为垂线上任一点，设OA＝a，OB＝b，OP＝p，则p·(b－a)等于( ) 1133A．－ B. C．－ D. 2222 →→→→→→→→1→ 5．在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是( ) 2A．(0，55757 ] B．(，] C．(，2] D．(，2] 22222 →→→→→→→ 6．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|＝|OB|＝OA·OB＝2，则点集{P|OP＝λOA＋μOB，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( ) A．22 B．23 C．42 D．43 →→→→7．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，→→则AB·AD的值是________． 8．(2014·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. 9．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝与f(e2，－e1)的夹角为________． 10．(2014·安徽)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成，记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①S有5个不同的值；②若a⊥b，则Smin与|a|无关；③若a∥b，则Smin与|b|无关；④若|b|>4|a|，则Smin>0； π⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为. 4 3 11．已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1)．(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值； 4 (2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，sin B＝ππ 求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围． 63 →5→→→ 12．在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD＝DB.(1)求|AB－AC|； 11→→→→ (2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC，令k＝x·y，求k的最小值． 6 ，3 3 ，则向量f(e1，e2)2 第 38 页 共 38 页 知识、考点、题型篇——练透高考必会题型（理） 专题5、数列 第25练 基本量——破解等差、等比数列的法宝 [内容精要] 数列在中学教材中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点．而作为数列中两个最基本的数列——等差数列和等比数列又有着很重要的地位，本节从两个数列的基本量来研究这两个数列． [典例剖析] 题型一 等差、等比数列的基本运算 例1 已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 题型二 等差、等比数列的性质及应用 例2 (1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是( ) A．25 B．50 C．100 D．不存在 S12S10 (2)在等差数列{an}中，a1＝－2 013，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 013的值为( ) 1210A．－2 011 B．－2 012 C．－2 010 D．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用 例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*.(1)证明：数列{an}为等比数列； (2)设数列{bn}满足bn＝log3an，若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和． [精题狂练] 1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( ) A．－110 B．－90 C．90 D．110 2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( ) n?n＋1?n?n－1?A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D. 22 3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为( ) A．－2或1 B．－1或2 C．－2 D．1 4．(2014·大纲全国)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )A．6 B．5 C．4 D．3 5．(2014·大纲全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于( ) A．31 B．32 C．63 D．64 An7n＋45an 6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( ) Bnn＋3bnA．2 B．3 C．4 D．5 21 7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________. 338．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． 9．(2014·安徽)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________. 第 39 页 共 39 页 10．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有 an＋2－an＋1 ＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比．现 an＋1－an 给出下列问题：①等差比数列的公差比一定不为零；②等差数列一定是等差比数列； ③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． an(1)求{an}的通项公式； (2)求数列{n}的前n项和． 2 12．(2014·北京)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和． 第26练 常考的递推公式问题的破解方略 [内容精要] 数列的通项公式可以说是数列问题的核心问题，如果可以由题目条件求得通项公式，可以说数列问题便可迎刃而解，因此求通项公式显得尤为重要，本节主要介绍由条件求通项公式的一些方法技巧． [典例剖析] 题型一 由相邻两项关系式求通项公式 2例1 已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a2n＋1－(n＋1)an＋anan＋1＝0，则它的通项公式为( ) n＋112A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝n 2n＋1n＋1题型二 已知多项间的递推关系求通项公式 1 例2 已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，则数列{an}的通项公式为________． 2题型三 构造法求通项公式 an例3 (1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an； (2)已知a1＝1，an＋1＝，求an. an＋1[精题狂练] a3151533 1．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )A. B. C. D. a516848 2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a1＝300，则a10为( )A．350 B．300 C．400 D．450 n－1x12 3．已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋?＋f()，n为正整数，则a2 015等于( ) nnn1－xA．2 014 B．2 009 C．1 005 D．1 006 4．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________． 5．数列{an}的前n项和Sn满足2SnSn－1＝an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________． 1－ 6．设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋?＋anxn1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项an＝________. 2 第 40 页 共 40 页
