2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
3、在等边?ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且
?MDN?60?,?BDC?120?,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，
BM、NC、MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系．
图1 图2 图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时
Q? ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（I）问的两个结论还
成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．
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参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知 AB-BE <2AD ABDAEC例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG, 显然BG＝FC， 在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知 EG＝EF 在△BEG中，由三角形性质知 EG 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. FBDCABDEC 解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG, 显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中， - 10 - BD＝AC=DG，AD＝AD， ∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG 故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE 应用： 1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 ?ABCRt?ABD和等腰 Rt?ACE，?BAD??CAE?90?,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． （1）如图① 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转?(0 ? 解：（1）ED?2AM，AM?ED； 证明：延长AM到G，使MG?AM，连BG，则ABGC是平行四边形 ∴AC?BG，?ABG??BAC?180? 又∵?DAE??BAC?180? ∴?ABG??DAE 再证：?DAE??ABG ∴DE?2AM，?BAG??EDA 延长MN交DE于H ∵?BAG??DAH?90? ∴?HDA??DAH?90? ∴AM?ED （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA至F，使AC?FA，FA交DE于点P，并连接BF ∵DA?BA，EA?AF - 11 - D N H E A B M G C ∴?BAF?90???DAF??EAD ∵在?FAB和?EAD中 ?FA?AE???BAF??EAD ?BA?DA?D F P A N E ∴?FAB??EAD（SAS） ∴BF?DE，?F??AEN ∴?FPD??F??APE??AEN?90? ∴FB?DE 又∵CA?AF，CM?MB ∴AM//FB，且AM?∴AM?DE，AM? 二、截长补短 1、如图，?ABC中，AB=2AC，AD平分?BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC 解：（截长法）在AB上取中点F，连FD △ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90° △ADF≌△ADC（SAS） ∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC B M C 1FB 21DE 2 2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，AD+BC EAD求证;AB＝ - 12 - BC
