第三章 自适应数字滤波器
3.1 引言
3.2 自适应横向滤波器 3.3 自适应格型滤波器 3.4 最小二乘自适应滤波 3.5 自适应滤波的应用
3.1 引 言
（维纳滤波器的特点与不足）自适应数字滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是平稳的，且具有信号和噪声统计分布规律的先验知识。在实际中，常常无法知道这些先验知识，且统计特性还会变化，因此实现最佳滤波是困难的。
自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动地按照某种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。常常将这种输入统计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。 将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B. Widrow)等人提出自适应滤波
器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡，雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪声中信号的检测、跟踪、增强和线性预测等。
本章主要介绍自适应横向滤波器、自适应格型滤波器、最小二乘自适应滤波器以及自适应滤波器的应用举例。
3.2 自适应横向滤波器
自适应滤波器的原理框图如图3.2.1所示，图中x(n)称为输入信号，或者称为参考信号、训练信号，e(n)y(n)是输出信号，d(n)称为期望信号，是误差信号。其中
x(n)y(n)－e(n)＋d(n) 图3.2.1 自适应滤波器原理图 e(n)?d(n)?y(n)
自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变，使输出y(n)最接近期望信号
H(z)d(n)。这里暂时假定d(n)是可以利用的，实际中，d(n)要根据具体情况进
行选取，能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应滤波器的一项有创意的工作。如果真正的d(n)可以获得，我们将不需要做任何自适应滤波器。
自适应线性组合器和自适应FIR滤波器是学习自适应信号处理的基础，它们都是非递归型的，相对地说，容易分析和理解，我们首先由此展开对自适应滤波基础理论的讨论。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR滤波器
1. 自适应滤波器的矩阵表示式 图3.2.2表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器，图中N个权系数w1,w2,?,wN受误差信号ej的自适应控制。对于固定的权系数，输出yj是输入信号
x1jx2jw1yj－＋djej?-w2xNjwN 图 3.2.2 自适应线性组合器 x1j,x2j,?,xNj的线性组合，因此
称它为线性组合器。这里的x1j,x2j,?,xNj可以理解为是从N个不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统，也可以是同一个信号源的N个序贯样本，如图 3.2.3 所示。
x(n)z－1x(n－1)z－1x(n－2)…wN－1z－1wNx(n－N)w1w2w3d(n)＋－e(n)y(n) 图3.2.3 自适应FIR滤波器
因此它是一个单输入系统， 实际上这种单输入系统就是一个FIR网络结构，或者说是一个自适应横向滤波器。其输出y(n)用滤波器的单位脉冲相应表示成下式：
y(n)??w(m)x(n?m) (3.2.1)
m?0N?1这里w(n)称为滤波器单位脉冲响应，令：i?m?1，记wi?w(i?1)，
xi?x(n?i?1)，n用j表示，上式可以写成
yj??wixij (3.2.2)
i?1N这里wi也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适合于自适应线性组合器，也适合于FIR滤波器。将上式表示成矩阵形式：
Tyj?XTW?WXj (3.2.3) j式中，W?[w1,w2,?,wN]T,Xj?[x1j,x2j,?,xNj]T
误差信号表示为
Tej?dj?yj?dj?XTW?d?WXj (3.2.4) jj2. 利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差
误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数。由(3.2.4)式，均方误差为
2E[e2]?E[(d?y)] jjjTTT?E[d2]?2E[dX]W?WE[XXjjjjj]W (3.2.5)
令
Rdx?E[djXj]?E[djx1j,djx2j,?,djxNj]T (3.2.6)
?x12j?x1jx1jT?Rxx?E[XjXj]?E?????xNjx1jx1jx2j2x2j?xNjx2j?x1jxNj???x1jxNj? (3.2.7)
????2?xNj??将(3.2.6)、(3.2.7)式代入(3.2.5)式，得到
2TTE[e2]?E[d]?2RW?WRxxW (3.2.8) jjdx
