化为等比数列求解。
3.典型例题分析 【题型1】 周期数列
1?2a,(0?a?)nn?6?2??，若a1?，则a20=____。
7?2a?1,(1?a?1)nn?2?例1 若数列?an?满足an?1答案：
5。 7小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。
【题型2】 递推公式为an?1?an?f(n)，求通项
例2 已知数列?an?满足a1?解：由条件知：an?1?an?11，an?1?an?2，求an。 2n?n1111???
n2?nn(n?1)nn?1分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即
(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)
1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)
22334n?1n1所以an?a1?1?
n11131?a1?，?an??1???
22n2n
小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.
【题型3】 递推公式为an?1?f(n)an，求通项
例3 已知数列?an?满足a1?解：由条件知
2nan，求an。 ，an?1?3n?1an?1n?，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式ann?1累乘之，即
aaa2a3a41123n?1?n? ??????????n???????????a1na1a2a3an?1234n又?a1?22，?an? 33n小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.
【题型4】 递推公式为an?1?pan?q（其中p，q均为常数，，求通项 (pq(p?1)?0)）
例4 在数列{an}中，a1?1，当n?2时，有an?3an?1?2，求{an}的通项公式。 解法1：设an?m?3(an?1?m)，即有an?3an?1?2m，对比an?3an?1?2，得m?1，于是得an?1?3(an?1?1)，数列{an?1}是以a1?1?2为首项，以3为公比的等比数
n?1列，所以有an?2?3?1。
解法2：由已知递推式，得an?1?3an?2,an?3an?1?2,(n?2)，上述两式相减，得
an?1?an?3(an?an?1)，因此，数列{an?1?an}是以a2?a1?4为首项，以3为公比
n?1n?1n?1的等比数列。所以an?1?an?4?3，即3an?2?an?4?3，所以an?2?3?1。
小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设展开整理
an?1?m?p(an?m)，
an?1?pan?pm?m，比较系数有pm?m?b，所以m?b，所以p?1an?bb是等比数列，公比为p，首项为a1?。二是用做差法直接构造，
p?1p?1an?1?pan?q，an?pan?1?q，两式相减有an?1?an?p(an?an?1)，所以an?1?an是公比为p的等比数列。也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.
4.通项公式的求法（2）
（5）构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时
会联想出一种适当的辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
1）构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式. 3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
四、典型例题分析
【题型5】 构造法：1）构造等差数列或等比数列
例5 设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：
an?2an?4Sn成立，求?an?的通项an.
22解：an?2an?4Sn?an?1?2an?1?4Sn?1，
222 ∴an?an?1?2an?2an?1?4(Sn?Sn?1)?4an
(an?an?1)(an?an?1?2)?0，∵an?an?1?0，∴an?an?1?2. 即?an?是以2为
公差的等差数列，且a1?2a1?4a1?a1?2. ∴an?2?2(n?1)?2n
小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
2【题型6】 构造法：2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式。
22例6 设?an?是首项为1的正项数列，且an?an?1?nan?nan?1?0，（n∈N*），求
数列的通项公式an.
解：由题设得(an?an?1)(an?an?1?n)?0. ∵an?0，an?1?0，∴an?an?1?0. ∴an?an?1?n
an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)??(an?an?1)?1?2?3???n?【题型7】 构造法：3）构造商式与积式
n(n?1) 2构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例7 数列?an?中，a1?12，前n项的和Sn?nan，求an?1. 22222解：an?Sn?Sn?1?nan?(n?1)an?1?(n?1)an?(n?1)an?1
ann?1?， an?1n?1aaan?1n?2111????∴an?n?n?1?2?a1?
an?1an?2a1n?1n32n(n?1)1∴an?1?
(n?1)(n?2) ?【题型8】 构造法：4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
2例8 设正项数列?an?满足a1?1，an?2an?1（n≥2）.求数列?an?的通项公式.
解：两边取对数得：log2n?1?2log2n?1，log2n?1?2(log2n?1?1)，设bn?log2n?1， 则bn?2bn?1
aaaaa?bn?是以2为公比的等比数列，b1?log12?1?1.
an?1n?1nbn?1?2n?1?2n?1，loga，log2n?2?1，∴an?222?1?2n?1?1
数 列 选 填 题（高考题）
1、(2014年高考重庆卷 文2) 在等差数列{an}中，a1?2，a3?a5?10，则a7?（ ）
A. 5 B. 8 C . 10 D. 14 1、解：∵数列{an}是等差，a32、(2014年高考天津卷 文5) 设
?a5?10，∴a4?5，a7?2a4?a1?8，∴选B.
?an?是首项为a1，公差为?1的等差数列，Sn为其前n项和，若
S1，S2，S4成等比数列，则a1＝（ ）
A. 2 B. －2 C. 2、解：∵
11 D . － 22?an?是首项为a1，公差为?1的等差数列，Sn为其前n项和，
?a2)2＝a1(a1?a2?a3?a4)，即(2a1?1)2＝
，S2，S4成等比数列， ∴(a1又∵S1a1(4a1?6)，
解得a1
3、(2014年高考新课标2卷 文5) 等差数列
?－
1，∴选D 2若a2，a4，a8成等比数列，则?an??an?的公差为2，
