（2）（3）（4）
1n(n?k)1?(?kn111n?k1)；
?1(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)?[12n(n?1)]；
n(n?1)!?1n!?1(n?1)!
2n?1?n（5）常见放缩公式：2(n?1?n)??1n?2n?n?1?2(n?n?1).
3.典型例题分析
【题型1】 公式法
ｎ2222例1 等比数列{an}的前ｎ项和Sｎ＝2－p，则a1?a2?a3???an＝________.
解：1）当n=1时，a1?2-p；
2）当n?2时，an?Sn-Sn-1?(2-p)-(2nn-1-p)?2n-1。
1-1 因为数列{an}为等比数列，所以a1?2-p?2?1?p?1
从而等比数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列。
22故等比数列an为首项为1，公比为q?4的等比数列。
??231(1-4n)1na?a?a???a??(4-1)
1-4321222n小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比
数列 的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列{an}为等比数
2列，则数列an及????1?12?也为等比数列，首项分别为a1、，公比分别
a1?an?为q、
21。 q【题型2】 分组求和法
?例2 （文18）数列{an}中，a1?1，且点(an, an?1)(n?N)在函数f(x)?x?2的图象上.求数列{an}的通项公式
解：∵点(an, an?1)在函数f(x)?x?2的图象上，∴an?1?an?2。 ∴an?1?an?2，即数列{an}是以a1?1为首项，2为公差的等差数列，
∴an?1?(n?1)?2?2n?1。
【题型3】 裂项相消法
例3 （文19改编）已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，Sn?1?4an?1，设
bn?an?1?2an．（Ⅰ）证明数列?bn?是等比数列；
（Ⅱ）数列?cn?满足cn?1(n?N*)，求Tn?c1c2?c2c3?c3c4?L?cncn?1。
log2bn?3证明：（Ⅰ）由于Sn?1?4an?1， ① 当n?2时，Sn?4an?1?1． ②
① ?②得 an?1?4an?4an?1． 所以 an?1?2an?2(an?2an?1)． 又bn?an?1?2an， 所以bn?2bn?1．
因为a1?1，且a1?a2?4a1?1，所以a2?3a1?1?4．
所以b1?a2?2a1?2．故数列?bn?是首项为2，公比为2的等比数列． 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn?2n，则cn?11*?（n?N）．
log2bn?3n?3Tn?c1c2?c2c3?c3c4?L?cncn?1?1111???L? 4?55?66?7(n?3)(n?4) ?n11?． ?4n?44(n?4)小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，
?c?可求和。它适用于??其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无
aa?nn?1?理数列、含阶乘的数列等。
4.数列求和的方法（2）
（5）错位相减法：适用于差比数列（如果?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比数列）即把每一项都乘以?bn?的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
如：等比数列的前n项和就是用此法推导的. （6）累加（乘）法
（7）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.
n
形如an＝(－1)f(n)类型，可采用两项合并求。
5.典型例题分析
【题型4】 错位相减法
2462n例4 求数列,2,3,???,n,???前n项的和.
22222n1解：由题可知{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积
222462n设Sn??2?3?????n ①
222212462nSn?2?3?4?????n?1 ② （设制错位） 222221222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1（错位相减）
222222212n ?2?n?1?n?1
22n?2 ∴ Sn?4?n?1
2【题型5】 并项求和法
例5 求S100＝100－99＋98－97＋…＋2－1
2
2
2
2
2
2
解：S100＝100－99＋98－97＋…＋2－1＝(100＋ 99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝
2
2
2
2
2
2
5050.
6.归纳与总结
以上一个8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃
而解。
三、数列的通项公式 1.数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
2.通项公式的求法（1）
（1）定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。
（2）公式法：在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
(n?1)?a1?S1 (数列{an}的前an??S?S (n?2,n?N)n?1?n
sn?a1?a2?L?an).
（3）周期数列
由递推式计算出前几项，寻找周期。
（4）由递推式求数列通项
类型1 递推公式为an?1?an?f(n)
n项的和为
解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 类型2 （1）递推公式为an?1?f(n)an 解法：把原递推公式转化为
an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an（2）由an?1?f(n)an和a1确定的递推数列?an?的通项可如下求得：
由已知递推式有an?f(n?1)an?1， an?1?f(n?2)an?2，???，a2?f(1)a1依次向前代入，得an?f(n?1)f(n?2)???f(1)a1，这就是叠（迭）代法的基本模式。 类型3 递推公式为an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。 解法：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?q，再利用换元法转1?p
