考点强化练21 矩形、菱形、正方形
夯实基础 1.
(2017·山东临沂)在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( )
A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形 C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形 答案D
解析若AD⊥BC,无法判定四边形AEDF是矩形,所以A错误;若AD垂直平分BC,可以判定四边形AEDF是菱形,所以B错误;若BD=CD,无法判定四边形AEDF是菱形,所以C错误;若AD平分∠BAC,则∠EAD=∠FAD=∠ADF,所以AF=DF,又因为四边形AEDF是平行四边形,所以四边形AEDF是菱形,故D正确.
2.(2018·合肥四十五中模拟)在?ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分别为边BC、AD上的点.若四边形AECF为正方形,则AE的长为( ) A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8 答案D 解析
据题意画图,设AE的长为x,根据正方形的性质可得BE=14-x,在△ABE中,根据勾股定理可得x2+(14-x)2=102,解得x1=6,x2=8.故AE的长为6或8.故选D. 3.
(2017·浙江衢州)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于( ) A. B. C. D. 答案B
解析设DF=x,则CF=AF=6-x,由勾股定理有x2+42=(6-x)2,解得x=. 4.
(2018·陕西)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是( ) A.AB=EF B.AB=2EF C.AB=EF D.AB=EF 答案D 解析
连接AC,BD,交于点O.∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF=AC.∵四边形ABCD为菱形,∴AO=AC,AC⊥BD.∴EF=AO.同理:EH=BO.∵EH=2EF.∴BO=2AO.在Rt△ABO中,设AO=x,则BO=2x.∴AB=x=AO.∴AB=EF,故选D. 5.
(2018·合肥庐阳区一模)如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为8,E为AB的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为( ) A.2 B.2 C.4 D.4 ?导学号16734128? 答案B 解析
如图作CE'⊥AB于E',交BD于P',连接AC、AP'.∵菱形ABCD的周长为16,面积为8,∴AB=BC=4,AB·CE'=8,∴CE'=2.在Rt△BCE'中,BE'==2,∵BE=EA=2,∴E与E'重合,∵四边形ABCD是菱形,∴BD垂直平分AC,∴A、C关于BD对称,∴当P与P'重合时,P'A+P'E的值最小,最小值为CE的长,即为2,故选B. 6.
(2018·合肥瑶海区模拟)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,且点A的坐标为(4,0),若E是AD的中点,则点E的坐标为 .? 答案(2,-2)
解析过E作EF∥AC,交BD于F,EG∥BD,交AC于G, ∵E是AD的中点,
∴G是AO的中点,F是OD的中点. ∵点A的坐标为(4,0),
7.
∴点G(2,0).由菱形的性质,知AC⊥BD,∠ADB=∠CDB. ∵∠ABC=60°, ∴∠ADB=30°. ∴OD=OA=4. ∴OF=OD=2. ∴E(2,-2).
(2018·贵州铜仁)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,边接EF,则EF的最小值为 .? 答案2.4 解析
如图,连接CD.
∵∠C=90°,AC=3,BC=4, ∴AB==5,
∵DE⊥AC,DF⊥BC,∠C=90°, ∴四边形CFDE是矩形,∴EF=CD.
由垂线段最短可得CD⊥AB时,线段EF的值最小,此时,S△ABC=BC·AC=AB·CD, 即×4×3=×5×CD,解得CD=2.4, ∴EF=2.4. 8.
(2017·山东青岛)已知:如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别是边AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OF,OE.
(1)求证:△BCE≌△DCF;
(2)当AB与BC满足什么条件时,四边形AEOF是正方形?请说明理由. (1)证明∵四边形ABCD为菱形, ∴AB=BC=CD=DA,∠B=∠D. 又E,F分别是AB,AD中点, ∴BE=DF.
∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)解若AB⊥BC,则AEOF为正方形,理由如下: ∵E,O分别是AB,AC中点,∴EO∥BC, 又BC∥AD,∴OE∥AD,即OE∥AF.
同理可证OF∥AE,∴四边形AEOF为平行四边形,由(1)可得AE=AF, ∴平行四边形AEOF为菱形. ∵BC⊥AB,∴∠BAD=90°,
∴菱形AEOF为正方形. 提升能力 9.
(2018·山东滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E,F分别在BC,CD上,若AE=,∠EAF=45°,则AF的长为 .? 答案
解析取AD、BC中点M、N,
由AD=4,AB=2,易得ABNM是正方形,连接MN,EH,由∠HAE=45°,四边形ABNM是正方形,可知此处有典型的正方形内“半角模型”,故有EH=MH+BE.由AB=2,AE=,易知BE=1,所以EN=BN-BE=2-1=1.设MH=x,由M是AD中点,△AMH∽△ADF可知,DF=2MH=2x,HN=2-x,EH=MH+BE=x+1,在Rt△EHN中有EN2+HN2=EH2,故12+(2-x)2=(x+1)2,解得x=,故DF=,故AF=. 10.
(2018·江苏扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE. (1)求证:四边形AEBD是菱形;
(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积. (1)证明∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥CE,∴∠DAF=∠EBF. ∵∠AFD=∠BFE,AF=FB, ∴△AFD≌△BFE,∴AD=EB.
∵AD∥EB,∴四边形AEBD是平行四边形. ∵BD=AD,∴四边形AEBD是菱形. (2)解∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB=,AB∥CD, ∴∠ABE=∠DCB.
∴tan∠ABE=tan∠DCB=3. ∵四边形AEBD是菱形, ∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF, ∴tan∠ABE==3.
∵BF=,∴EF=,∴DE=3.
∴S菱形AEBD=·AB·DE=×3 =15.?导学号16734129?
11.(2011·安徽)如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).
(1)求证:h1=h3;
(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:S=(h2+h1)2+;
(3)若h1+h2=1,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.
(1)证明过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F,过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G,
∵四边形ABCD是正方形,l1∥l2∥l3∥l4, ∴AB=CD,∠ABE+∠HBC=90°, ∵CH⊥l2,∴∠BCH+∠HBC=90°, ∴∠BCH=∠ABE,
∵∠BCH=∠CDG,∴∠ABE=∠CDG, ∵∠AEB=∠CGD=90°, 在△ABE和△CDG中, ∴△ABE≌△CDG(AAS),
∴AE=CG,即h1=h3.
(2)证明∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=DA,
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°,∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG, ∴△AEB≌△DAF≌△BHC≌△CGD,且两直角边长分别为h1、h1+h2, ∴四边形EFGH是边长为h2的正方形,
∴S=4×h1(h1+h2)+=2+2h1h2+=(h1+h2)2+. (3)解由题意,得h2=1-h1,
所以S=h1+1-h12+-h1+1=h1-2+, 又解得0 ∴当0 当 12.已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. (1)如图1,E,G分别是OB,OC上的点,CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥EC,求证:OE=OG; (2)如图2,H是BC上的点,过点H作EH⊥BC,交线段OB于点E,连接DH交CE于点F,交OC于点G.若OE=OG, ①求证:∠ODG=∠OCE; ②当AB=1时,求HC的长. (1)证明∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD,OD=OC. ∴∠DOG=∠COE=90°, ∴∠OEC+∠OCE=90°. ∵DF⊥CE,∴∠OEC+∠ODG=90°. ∴∠OCE=∠ODG, ∴△DOG≌△COE(ASA).∴OE=OG. (2)①证明∵OD=OC,∠DOG=∠COE=90°, 又∵OE=OG,∴△DOG≌△COE(SAS). ∴∠OCE=∠ODG. ②解设CH=x,∵四边形ABCD是正方形,AB=1,∴BH=1-x. ∴∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°, ∴EH=BH=1-x. ∵∠OCE=∠ODG, ∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE, ∴∠HDC=∠ECH. ∵EH⊥BC,∴∠EHC=∠HCD=90°. ∴△CHE∽△DCH,∴. ∴HC2=EH·CD,得x2+x-1=0, 解得x1=,x2=(舍去), ∴HC=.
