(1)求b；
(2)如图，D为AC边上一点，且BD⊥BC，求△ABD的面积．
解 (1)由sinB＋3cosB＝0得，tanB＝－3，又0 3. 由余弦定理得，b2 ＝a2 ＋c2 －2accosB ＝1＋4－2×1×2×???－12??? ＝7，所以b＝7. (2)由(1)得，cosC＝a2＋b2－c21＋7－427 2ab＝2×1×7 ＝7， sinC＝1－cos2 C＝ 2137，即tanC＝2 . 在Rt△BDC中，BD＝BC·tanC＝1× 32＝3 2 ， ∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝2πππ 3－2＝6， 所以S1 △ABD＝2×AB×BDsin∠ABD ＝12×2×32×132＝4 . 15．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝1，A＝2π3. (1)求sin∠ADB； (2)若∠BDC＝2π 3 ，求四边形ABCD的面积． - 21 - 解 (1)如图，在△ABD中， AB＝2，AD＝1，A＝ 2π3 ， 由余弦定理，得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA， 即BD2 ＝4＋1－2×2×1×cos 2π 3 ，解得BD＝7. 在△ABD中，由正弦定理，得BD＝ABsinAsin∠ADB， 即 7＝2，解得sin∠ADB＝21sin 2πsin∠ADB7. 3 (2)设∠CBD＝α，因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠CBD＝α，所以sinα＝217 . 因为0<α<π272π 2，所以cosα＝7，因为∠BDC＝3， 所以sinC＝sin? ?π?3－α??? ＝sinπ3cosα－cosπ3sinα＝2114. 在△BCD中，由正弦定理得 BDBC7BCsinC＝ sin∠BDC，即21 ＝，解得BC＝14 sin 2π7. 3所以S12BD·BC·sinα＝12×7×7×2173 △BCD＝7＝2 ， S112π3△ABD＝2AB·AD·sin∠BAD＝2×2×1×sin 3＝2 . - 22 - 733 所以四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△ABD＝＋＝43. 22 16. 如图，已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－ b－c＝0. (1)求A； 1129 (2)若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积． 72解 (1)acosC＋3asinC－b－c＝0， 由正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC＝sinB＋sinC， 即sinAcosC＋3sinAsinC＝sin(A＋C)＋sinC， 又sinC≠0，所以化简得3sinA－cosA＝1， 1 所以sin(A－30°)＝. 2 在△ABC中，0° (2)在△ABC中，因为cosB＝，所以sinB＝. 77所以sinC＝sin(A＋B)＝ 3114353×＋×＝. 272714 asinA7 由正弦定理，得＝＝. csinC5 129122 设a＝7x，c＝5x(x>0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcosB，即＝25x＋×49x44111 －2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，故S△ABC＝acsinB＝103. 272 - 23 - 三角函数与解三角形类解答题 (12分)已知函数f(x)＝3sinωxcosωxπ2 －sinωx＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为. 2 (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a＝3，f(A)＝1，求△ABC面积S的最大值． 解题思路 (1)首先将函数解析式化为“一角一函数”的形式，然后利用函数图象中对称轴之间的距离确定函数的周期，从而求得ω的值，最后利用换元法求得函数的递减区间；(2)根据第(1)问所得，利用f(A)＝1求得角A，再根据余弦定理建立b，c的关系式，利用基本不等式求得bc的最大值，将其代入面积公式即可． 解 (1)f(x)＝π?131－cos2ωx?sin2ωx－＋1＝sin?2ωx＋?＋.(3分) 6?222? - 24 -
