π?1π2sinα＋sin2α?3．已知tan?α＋?＝，且－<α<0，则等于( ) 4?22π???cos?α－?4??25
A．－
5310C．－
10答案 A
π?tanα＋111π10?解析 由tan?α＋?＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.4?1－tanα23210?2sinα＋sin2α2sinαsinα＋cosα25
故＝＝22sinα＝－.
π?52?cos?α－?sinα＋cosα4??2
考向2 正弦定理与余弦定理的应用
例2 (2019·辽宁抚顺高三一模)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝10，角B是最小的内角，且3c＝4asinB＋3bcosA.
(1)求sinB的值； (2)若c＝14，求b的值．
解 (1)由3c＝4asinB＋3bcosA且A＋B＋C＝π， 由正弦定理得3sinC＝4sinAsinB＋3sinBcosA， 即3sin(A＋B)＝4sinAsinB＋3sinBcosA，
由于0
又sinB>0，所以sinB＝.
5
π
(2)因为角B是最小的内角，所以0 334 又由(1)知sinB＝，所以cosB＝， 55 4222 由余弦定理得b＝14＋10－2×14×10×＝72，即b＝62. 5 2 2 35B．－ 1025D. 5 - 5 - (1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理． (2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形． 1 (3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝absinC形式的面 2积公式． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos2C＋2ccosAcosC＋a＋ b＝0. (1)求角C的大小； (2)若b＝4sinB，求△ABC面积S的最大值． 解 (1)由acos2C＋2ccosAcosC＋a＋b＝0，得 - 6 - a·(2cos2C－1)＋2ccosAcosC＋a＋b＝0， 即2acosC＋2ccosAcosC＋b＝0. 由正弦定理，得2sinAcosC＋2sinCcosAcosC＋sinB＝0， ∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0. 1 ∵0° 2(2)根据正弦定理，得c＝ 2 2 bsinC， sinBbsinC4sinBsinC＝＝23， sinBsinB∵b＝4sinB，C＝120°，∴c＝ 2 2 2 由余弦定理c＝a＋b－2abcosC，得 (23)＝a＋b－2abcos120°＝a＋b＋ab≥3ab， 1 ∴ab≤4，∴S＝absinC≤3， 2∴△ABC面积S的最大值为3. 考向3 解三角形的综合问题 角度1 解三角形与三角恒等变换的综合 例3 (2019·福建省高三模拟)已知在△ABC中，AC＝3，C＝120°，cosA＝3sinB. (1)求边BC的长； 153 (2)设D为AB边上一点，且△BCD的面积为，求sin∠BDC. 8解 (1)由cosA＝3sinB及C＝120°， 得cos(60°－B)＝3sinB， 13 展开得cosB＋sinB－3sinB＝0， 22即cos(B＋60°)＝0，所以B＝30°. 所以A＝60°－B＝30°，即A＝B＝30°，所以BC＝AC＝3. 115353 (2)由S△BCD＝×3×BD×sin30°＝，解得BD＝. 282在△BCD中，CD＝BC＋BD－2BC·BDcosB， 所以CD＝由 21. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CD321＝，得＝×2， sin∠BDCsinBsin∠BDC2 21 . 7 - 7 - BC所以sin∠BDC＝ 正、余弦定理与三角恒等变换的综合问题，应先利用三角恒等变换公式将函数关系式变形为只含一个角的一种三角函数形式后，再根据要求求解． (2019·江西南昌高三适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cosA－2cosC2c－a＝. cosBbsinC(1)求的值； sinA1 (2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积． 42c－a2sinC－sinA解 (1)由正弦定理，得＝， bsinBcosA－2cosC2sinC－sinA所以＝， cosBsinB即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB， - 8 -
