第6讲 导数及其应用
■真题调研——————————————
【例1】 [2019·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明：
π??(1)f′(x)在区间?－1，?存在唯一极大值点；
2??(2)f(x)有且仅有2个零点． 解：(1)设g(x)＝f′(x)，则
g(x)＝cosx－
11，g′(x)＝－sinx＋2. 1＋x?1＋x?
π??当x∈?－1，?时，g′(x)单调递减， 2??
π??π??而g′(0)＞0，g′??＜0，可得g′(x)在?－1，?有唯一零点，设为α.则当x∈(－
2??2??1，α)时，g′(x)＞0；
π??当x∈?α，?时，g′(x)＜0.
2??
π?π???所以g(x)在(－1，α)单调递增，在?α，?单调递减，故g(x)在?－1，?存在唯一
2?2???π??－1，极大值点，即f′(x)在??存在唯一极大值点．
2??
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
(ⅰ)当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1,0)单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]的唯一零点．
π??π??(ⅱ)当x∈?0，?时，由(1)知，f′(x)在(0，α)单调递增，在?α，?单调递减，而
2?2???
????f′(0)＝0，f′??＜0，所以存在β∈?α，?，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，22
???
?
?
????f′(x)＞0；当x∈?β，?时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)单调递增，在?β，?单调递
22
?
?
?
减．
π
π
ππ
?π??π??π?又f(0)＝0，f??＝1－ln?1＋?＞0，所以当x∈?0，?时，f(x)＞0.从而，f(x)在
2?2??2????0，π?没有零点．
?2???
(ⅲ)当x∈?
?π，π?时，?π，π?单调递减．?π?＞0，
f′(x)＜0，所以f(x)在而ff(π)??2??2??2?????
?π?＜0，所以f(x)在?，π?有唯一零点． ?2?
(ⅳ)当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)＞1， 所以f(x)＜0，从而f(x)在(π，＋∞)没有零点． 综上，f(x)有且仅有2个零点．
【例2】 [2019·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝2x－ax＋b. (1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出
3
2
a，b的所有值；若不存在，说明理由．
解：(1)f′(x)＝6x－2ax＝2x(3x－a)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
3
2
a??若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪?，＋∞?时，f′(x)＞0； ?3?
当x∈?0，?时，f′(x)＜0.
?3?
a?
a?
????故f(x)在(－∞，0)，?，＋∞?单调递增，在?0，?单调递减； ?3??3?
若a＝0，f′(x)≥0，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增； 若a＜0，则当x∈?－∞，?∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；
3??
aa?
a???当x∈?，0?时，f′(x)＜0.
?3?
????故f(x)在?－∞，?，(0，＋∞)单调递增，在?，0?单调递减．
3???3?
(2)满足题设条件的a，b存在．
(ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为
aaaf(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时，a，b满足题设条件当且仅当b＝－1,2－a＋b＝1，
即a＝0，b＝－1.
(ⅱ)当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为
f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时，a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝
1，即a＝4，b＝1.
a?a?(ⅲ)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f??＝－＋b，最大值为b或
27?3?
2－a＋b.
3
3
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝32，与0＜a＜3矛盾．
27
若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝33或a＝－33或a＝0，与0＜a＜3矛盾．
27综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.
【例3】 [2019·浙江卷]已知实数a≠0，设函数f(x)＝alnx＋1＋x，x>0. 3
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
4
a3a3
x?1?(2)对任意x∈?2，＋∞?均有f(x)≤，求a的取值范围． 2a?e?
注：e＝2.718 28…为自然对数的底数．
33
解：(1)当a＝－时，f(x)＝－lnx＋1＋x，x>0.
44
f′(x)＝－＋＝4x21＋x31
?1＋x－2??21＋x＋1?
.
4x1＋x所以，函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3，＋∞)． 12
(2)由f(1)≤，得0 2a4当0 2x时，f(x)≤等价于 42ax21＋x－－2lnx≥0. aa2 1 令t＝，则t≥22. a设g(t)＝t2 x－2t1＋x－2lnx，t≥22，则 1?21＋x－2lnx. 1＋?－ g(t)＝x?t－ ? ? x? x?1?①当x∈?，＋∞?时， ?7? 1 1＋≤22，则 xg(t)≥g(22)＝8x－421＋x－2lnx. 1 记p(x)＝4x－221＋x－lnx，x≥，则 7 p′(x)＝ 2 x－ 1－ x＋1x2 ＝ 2xx＋1－2x－x＋1 xx＋1 ＝ ?x－1?[1＋x?2x＋2－1?] xx＋1?x＋1??x＋1＋2x? . x，p′(x)，p(x)的变化情况如下： x p′(x) p(x) 1 7?1，1? ?7???－ 单调递减 1 0 极小值p(1) (1，＋∞) ＋ 单调递增 p?? 7?1???所以，p(x)≥p(1)＝0. 因此，g(t)≥g(22)＝2p(x)≥0. ?11?②当x∈?2，?时， ?e7? g(t)≥g? ?? 1?－2xlnx－?x＋1? . 1＋?＝ x? x?11?令q(x)＝2xlnx＋(x＋1)，x∈?2，?，则 ?e7? q′(x)＝ lnx＋2 ＋1>0， x?11??1?故q(x)在?2，?上单调递增，所以q(x)≤q??. ?e7??7? 27?1?27?1?由①得，q??＝－p??<－p(1)＝0. 7?7?7?7?所以，q(x)<0.因此，g(t)≥g? ? ? q?x?1? >0. 1＋?＝－x? x?1?t∈[22，?1?由①②知对任意x∈?2，＋∞?，＋∞)，g(t)≥0，即对任意x∈?2，＋∞?， ?e??e? 均有f(x)≤ x. 2a综上所述，所求a的取值范围为?0，??2??. 4? x【例4】 [2019·天津卷]设函数f(x)＝ecosx，g(x)为f(x)的导函数． (1)求f(x)的单调区间； ?ππ??π?(2)当x∈?，?时，证明f(x)＋g(x)·?－x?≥0； ?42??2? ππ??(3)设xn为函数u(x)＝f(x)－1在区间?2nπ＋，2nπ＋?内的零点，其中n∈N，证 42??
