第二章 度量空间与赋范线性空间
（1）X中每个非空闭集必为可列个开集的交； （2）X中每个非空开集必为可列个闭集的并。
11.设X，Y是两个非空集合。T：X?Y是一个映射，A?X，证明：
T?1(Ac)?(T?1(A))c。
2.3 度量空间中的可分性、完备性与，列紧性 2.3.1 度量空间中的可分性
有理数集在实数集中的稠密性，实数集的完备性及有界数列必有收敛子列是
数学分析的理论源泉。本节将把实数空间这几个重要性质推广到一般的距离空间中。
【定义2.9】 设X是一度量空间，A与B都是X的子集，若B?A，则称A在B中稠密。
由定义2.9及2.2节有关定义、定理易证如下定理。
【定理2.7】 设X是度量空间，A，B? X，则如下说法等价： （1）A在B中稠密；
（2）对?x?B，???0，存在y?A，使?(x,y)??； （3）???0，有B?x?AB(x,?)；
（4）对?x?B，存在点列{xn}?A，使xn?x(n??)。
例2.16 有理数在实数中稠密，有理数也在无理数中稠密。
注：稠密概念在数学分析中学中是很有用的，当考察距离空间是否具有某种性质时，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通过极限过程得出X上相应的结论。
【定义2.10】 称度量空间X是可分的，是指存在X中一可列集A，使A在X中稠密。
例2.17 欧氏空间是Rn可分的。
证明： 取A?{(r1,r2,???,rn):ri是有理数(1?i?n)}，则A是可列集。对x?Rn及??0，记x?(x1,x2,???,xn)，取有理数ri满足 |xi?ri|?则 a?A，由于 ?(x,a)??n，令a?(r1,r2,???,rn)，
?(x?r)iii?1n2??ni?1n?2??
应用泛函分析(第二版)
所以A在Rn中稠密。
例2.18 连续函数空间C[a,b]是可分的。
证明：设A为系数是有理数的多项式组成的集合，A为可数集。对任一连续函数f?C[a,b]，由Weierstrass定理对[a,b]上任一连续函数f，必存在一列多项式Pn(x)?C[a,b],(n?1,2,???)，pn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)。则对???0，
?存在多项式pn(x)且满足?(f,pn)?max{|fx(?)pnx()x|:?a[b,?]},取多项式
2?p0?A，满足?(pn,p0)?max{|pn(x)?p0(x)|:x?[a,b]}?,于是?(p0,f)??(p0,
2pn)??(pn,f)??，从A而在C[a,b]中稠密。
例2.19 Lp[a,b](p?1)是可分的度量空间。
证明：由勒贝格积分的绝对连续性可证[a,b]上的有界可测函数全体M[a,b]中稠密，例2.18中的集合A在C[a,b]中稠密，所以Lp[a,b](p?1)是可分的。
下面举一个不可分度量空间的例子。
例2.19 有界数列空间l?，在l?上定义度量
?(?,?)?sup|ai?bi|，(??{ai},??{bi}?l?)
i?1则l?在度量?下是不可分的。
证明：用反证法，若l?是可分的，则存在可列稠密集A。取l?的一个子集
B?{??{ai}:ai?0或1(i?1,2,???)}，B与区间[0,1]可以通过二进制小数建立如下
对应：ai?0.a1a2???，该对应是一一映射，因此B是不可数集。以A中的所有点
1111为中心，为半径的开球B(a,)(a?A)满足B(a,)?l?。因此B?B(a,)。
3333a?Aa?A由于A可数，B不可数，所以至少存在B中两个不同点?,?落入某个开球
1121B(a0,)。直接计算，显然?(?,?)?1，但?(?,?)??(?,a0)??(a0,?)???，
3333矛盾，故l?不可数。
第二章 度量空间与赋范线性空间
2.3.2 度量空间中的完备性
我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy列，因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念——度量空间的完备性。
【定义2.11】 度量空间X中的点列{xn}称为Cauchy列，是指对任意??0，存在自然数N，当n,m?N时，有?(xn,xm)??；度量空间X称为完备的，是指
X中任何Cauchy列都是收敛的。
由定义易知X中的收敛点列是Cauchy列。X中的Cauchy列若有子列收敛，则Cauchy列也收敛。
例2.21 欧氏空间Rn是完备的。
证明：设{x(k)}是Rn中任一Cauchy列，则对???0，存在自然数N，当
k1,k2?N时，有?(x(k1),x(k2))??，于是，对每个坐标所形成的数列
{xi(k)}(x(k)?(x1(k),x2(k),???,xn(k)))(1?i?n), |xi(k1)?xi(k2)|??(x(k1),x(k2))??
这说明{xi(k)}是Cauchy列，因此，存在实数xi，满足xi(k)?xi(k??)，记作x?(x1,x2,???,xn)，则x?Rn。这样有x(k)?x(k??)。
例2.22 空间C[a,b]是完备的。
证明：设{fn}是C[a,b]中任一Cauchy列，则对???0，存在自然数N，当有?(fn,fm)??，即对任意t?[a,b]，必有|fn(t)?fm(t)|??，令m??，n,m?N时，
有|fn(t)?f0(t)|??，则{fn}一致收敛于f0。而fn?[a,b]，所以f0?[a,b]，且
?(fn,f0)?0(n??)，故C[a,b]空间是完备的。
例2.23 l?空间是完备的。
证明：设{xm}是l?中的Cauchy列，其中xm?{?1(m),?2(m),???,?n(m),???}，则对
???0，存在自然数N，当n,m?N时，下式成立
应用泛函分析(第二版)
?(xn,xm)?sup|?j(n)??j(m)|??
j?N对每个j?N，也有|?j(n)??j(m)|??成立，这样对每个j存在?j?R，有
?j(m)??j(m??)。令x?{?1,?2,???,?n,???}，则x?l?且xk?x(k??)。
事实上，在|?j(n)??j(m)|??中令n??，得到对一切m?N，|?j(m)??j|??成立。
又因为xm?l?，因而存在实数km，使得对所有j，|?j(m)|?km成立。这样就有|?j|?|?j??j(m)|?|?j(m)|???km。这就证明了x?l?，由|?j(m)??j|??，可知对一切m?N，下式成立
?(xm,x)?sup|?j(m)??j|??
j?N所以xm?x(m??)，因而l?是完备的。
注：不完备距离空间是存在的。例如有理数域就是不完备的，再如C[a,b]按
Lp[a,b](p?1)空间的距离构成的度量空间是不完备的。
事实上，C[a,b]是Lp[a,b]的子空间。在(a,b)中取一点c，如取c?xn(t)?atctan(n(t?c)),t?[a,b],n?1,2,???
a?b，令 2则
????2?xn(t)?x0(t)??0????2且|xn(t)|?,a?t?c,t?c
,c?t?b?2(?t?[a,b])，由勒贝格控制收敛定理可以证明{xn}收敛于Lp[a,b]中
的函数x0，因而{xn}是Cauchy列，而xn?C[a,b]，所以{xn}是C[a,b]中的Cauchy列，但x0不可能对等于一个连续函数，故{xn}不收敛于C[a,b]中某个元，所以
C[a,b]作为Lp[a,b]的子空间是不完备的。
从以上例子可以看出，同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。
【定理2.8】 度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空
