高二数学选修2-1 §3.1.1 空间向量及其线性运算 教学案26 编写：陶美霞 审核：赵太田
一、知识要点
B1.空间向量定义及其记法； ABa2.空间向量的线性运算
AOB?OA?AB?a?bB BPBA?OA?OB?a?b abA?a OP??a(?∈R)
OOAOa3.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
⑴a?b?b?a；⑵?a?b??c?a??b?c?；⑶??a?b???a??b(?∈R)
4.共线向量(平行向量)定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那
么这些向量叫做共线向量或平行向量。
规定：零向量与任意向量共线。
5.共线向量定律：对空间任意两个向量a,b(a?0)，b与a共线的充要条件是存在实数?，
使b??a
二、典型例题
例1.如图，在三棱柱ABC__A1BC11中，
M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。
A1⑴CB?BA1AAB11；⑵AC?CB?21；⑶AA1?AC?CB
C1M AB C
例2.如图，在长方体OADB__CA?D?B?中，OA?3,OB?4,OC?2,OI?OJ?OK?1，点
E、F分别是DB,D?B?的中点，设OI?i,OJ?j,OK?k，试用向量i,j,k表示OE和OF。
CB/ KA/D/F IOJB E AD
例3.设四面体ABCD的三条棱AB?b,AC?c,AD?d，求四面体其他各棱所对应的向量，以及面?BCD上的中线所对应的向量DM和向量AQ，其中M是BC的中点，Q是三角形BCD的重心。
三、巩固练习
1.如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，CF?2FD，连结EF,CE,AF,BF，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。
⑴AC?CB?BD；⑵ AF?BF?AC；⑶1AB?BC?2CD。
23D F A C EB 2.如图，在正方体ABCD__A1B1C1D1中，点
E、F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，若AE?mAB?nAD?AA1，求
m,n的值。
A1D1
E
B1C1 AFD
BC 3.已知四棱锥P__ABCD的底面ABCD是平行四边形，AB?a,AD?b,AP?c，
E是PC的中点，试用a,b,c表示向量CE。
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四、小结：运用类比的方法，将向量及其运算由平面向空间推广，而平面向量共线充要条件与空
间向量共线的充要条件表达形式完全一样。
五、课后作业
1.正方体ABCD__A1B1C1D1中，D1A1?BB1?DC?_____,CD?AA1?DA1?______； 2.已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,N分别是BC,AD的中点，则MN用
AB,AC,AD表示的结果为 ；
3.已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA?OB?OC??OG，则?? ； 4.已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC，M是边OA的中点，G是?ABC的重心，则向量OA,OB,OC表示向量MG的表达式 ；
5.如图所示，在平行六面体ABCD__A1B1C1D1中，
M是AC与BD的交点，若AB?a,AC1D1?b,A1A?cD，则下列向量中与B1M相等的向量是( )
M11ABA.?12a?12b?c
B.2a?2b?c
D1C1C. 12a?12b?c
D. ?12a?12b?c
A1B16.如果向量AB,AC,BC满足AB?AC?BC，则( ) A.AB?AC?BC B.AB??AC?BC C.AC与BC同向
D.AC与CB同向
7.在巩固练习第2题中，若AF?mAB?AD?nAA1，则m= ，n= ； 8.已知M,N分别是空间四边形ABCD的对角线AC和BD的中点，求证MN?12?AB?CD?。
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9.在三棱柱ABC__A?B?C?中BC?与B?C交于O，试用向量AB,AC,AA?表示向量AO。
10.已知四棱锥P__ABCD的底面是平行四边形，E为棱PC上的点，且CE?2EP，试用
AB,AD,AP表示向量CE。
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