2020中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题）
突破与提升策略
【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
BV1V1驿道砂石地AV2C
【模型建立】
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1 BACBC?的值V2V1V1MNAV2C 【问题分析】 ?VVACBC1??=?BC?1AC?，记k?1， V2V1V1?V2V2?即求BC+kAC的最小值． 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． BMsinα=ACHACα=kHCNDCH=kAC 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． BMAαHCND 【模型总结】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型． 而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段． 1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD?5BD的最小值是_______． 5AEDBC 【分析】本题关键在于处理“sin?ABE5BD”，考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，555，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH?BD． 55AAHEDHDEBCB C 问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时 CD?DH?CH?BE?45． 【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下： EDBC 则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在． AEDBCsinα=αBHDCE55 2.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB?3PD的最小值等于________． 2DPCAB 【分析】考虑如何构造“33，且sin60°=，故延长AD，作PD”，已知∠A=60° 22PH⊥AD延长线于H点，即可得PH?MH3将问题转化为：求PB+PH最小值． PD， 2DPCAB 当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长． MHDPCAB
