4．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集 C．有理数集 D．无理数集
解析：选C A错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
1
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)
2＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
解析：由题意，知f(0)＝0，
f(1)＝f(0)＝0， f(2)＝f(－1)＝0， f(3)＝f(－2)＝0， f(4)＝f(－3)＝0， f(5)＝f(－4)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 答案：0
x2＋1
6．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
|x|
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数； ③f(x)的最小值是lg 2;
④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是________． 解析：∵f(x)是偶函数， ∴①正确；
x2＋1?1?当x＞0时，f(x)＝lg＝lg?x＋?≥lg 2， x?x?
当且仅当x＝1时取等号， ∴0＜x＜1时，f(x)为减函数；
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x＞1时，f(x)为增函数．x＝1时取得最小值lg 2.
又f(x)为偶函数，
∴－1＜x＜0时，f(x)为增函数；
x＜－1时，f(x)为减函数．x＝－1时取得最小值lg 2.
∴③④也正确． 答案：①③④
7．已知2sinα＋sinβ＝3sin α，求sinα＋sinβ的取值范围． 解：由2sinα＋sinβ＝3sin α，
3?29?222
得sinα＋sinβ＝－sinα＋3sin α＝－?sin α－?＋，且sin α ≥0，
2?4?∵0≤sinβ ≤1，sinβ ＝3sin α－2sinα， ∴0≤3sin α－2sinα≤1. 1
解得sin α＝1或0≤sin α ≤.
2令y＝sinα＋sinβ， 当sin α＝1时，y＝2; 15
当0≤sin α≤时，0≤y≤，
24
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?5?22
∴sinα＋sinβ的取值范围是?0，?∪{2}．
?4?
8．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)求证：|c|≤1；
(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2. 证明：(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件， 所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c， 所以|c|≤1.
(2)当a＞0时，g(x)在[－1,1]上是增函数， 所以g(－1)≤g(x)≤g(1)． 又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，
2
g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，
所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，
又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1， 所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2， 所以－2≤g(x)≤2.
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当a＜0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2. 当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，
g(x)＝f(1)－c，
所以－2≤g(x)≤2. 综上所述，－2≤g(x)≤2.
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