解析：选B 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111. 4．设函数f(x)＝
xx＋2
(x＞0)，观察：
xxf1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，
x＋23x＋4f3(x)＝f(f2(x))＝f4(x)＝f(f3(x))＝
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2，分母中x的系数为2－1，故fn(x)＝
答案：
nn*
x， 7x＋8x，
15x＋16
x2－1x＋2
nn.
x2－1
nx＋2n
题组2 图形中的归纳推理
5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．
6．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3
n－1
B．an＝3
n－1
nC．an＝3－2n D．an＝3
n＋2n－3
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解析：选A ∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27， ∴猜想an＝3
n－1
.
7．如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
解：设圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为
g(n)部分．
f(1)＝1＝12， g(1)＝2； f(2)＝4＝22， g(2)＝4＝2＋2； f(3)＝9＝32， g(3)＝7＝2＋2＋3； f(4)＝16＝42，
g(4)＝11＝2＋2＋3＋4；
猜想：f(n)＝n，
1＋nnn＋n＋2
g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝.
22
即圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为n条线段，将圆最多分割为部分．
题组3 类比推理
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝2.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝2 B．a1＋a2＋…＋a9＝2 C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
9
9
9
2
2
2
n2＋n＋2
2
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9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比
S△AECAC＝，将这个结S△BECBC论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为________．
解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故
S△AECVA-CDE类比成. S△BECVB-CDE平面中的线段长类比到空间为面积， 故类比成故有
ACBCS△ACD. S△BDCVA-CDES△ACD＝. VB-CDES△BDCVA-CDES△ACD＝ VB-CDES△BDC2
2
答案：
10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cosα＋cosβ＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
?a?2?b?2a＋bc解：如图①，在矩形ABCD中，cosα＋cos β＝??＋??＝2＝2＝1.
cc?c??c?
2
2
222
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cosα＋cosβ＋cosγ＝1， 证明如下：
如图②，cosα＋cosβ＋cosγ ＝??＋??＋??
lll2
2
2
2
2
2
?m?2?n?2?g?2??????
m2＋n2＋g2l2＝＝2＝1.
l2l
[能力提升综合练]
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1．观察下列各式：7＝49,7＝343,7＝2 401，…，则7A．01 B．43 C．07 D．49
2342 016
的末两位数字为( )
解析：选A 因为7＝7,7＝49,7＝343,7＝2 401，7＝16 807,7＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 016＝4×504， 所以7
2 016
123456
的末两位数字与7的末两位数字相同，为01.
4
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A*D，A*C的分别是( ) A．(1)，(2) B．(1)，(3) C．(2)，(4) D．(1)，(4)
解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，
∴A*D是(2)，A*C是(4)．
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，
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