[尝试解答] (1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 个数 1 6 2 11 3 16 … … 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.
(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. [答案] (1)B (2)28
解决图形中归纳推理的方法
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手： (1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
练一练
2．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．
则第n个正方形数是( ) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．n D．(n＋1)
解析：选C 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n.
2
2
2
5 / 27
讲一讲
3．三角形与四面体有下列共同的性质：
(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形 三角形两边之和大于第三边 三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 1三角形的面积S＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径) 2 [尝试解答] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：
三角形 三角形两边之和大于第三边 四面体 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 四面体的中截面的面积等于第四个面面积的1，且平行于第四个面 4四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心 1四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、3四面体 三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 1三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r(r为三角形2内切圆的半径)
S2、S3、S4为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径) 6 / 27
(1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．
(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有： ①平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：
②实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质． ③实数满足的运算律与向量满足的运算律． ④等差数列与等比数列的定义及性质． ⑤圆锥曲线的定义及性质． 练一练 3．如图所示，
在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，
C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别为△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面积，α，β，γ分别为侧面PAB，侧面PBC，侧面PAC与底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面体P-ABC中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.
———————————[课堂归纳——感悟提升]—————————————
1．本节课的重点是归纳推理和类比推理的应用．难点是对归纳推理、类比推理结论的真假判定．
7 / 27
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)数(式)中的归纳推理，见讲1； (2)图形中的归纳推理，见讲2； (3)类比推理的应用，见讲3.
课下能力提升(三) [学业水平达标练]
题组1 数(式)中的归纳推理
1．已知数列1，a＋a，a＋a＋a，a＋a＋a＋a，…，则数列的第k项是( ) A．a＋aC．ak－1kk＋1
2
2
3
4
3
4
5
6
＋…＋a B．a2k2kk－1
＋a＋…＋a＋a＋…＋akk2k－1
＋a＋…＋a D．akk－12k－2
k－1
解析：选D 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a数连续，故第k项为ak－1
，且第k项中有k项，且次
＋a＋…＋ak2k－2
.
2．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从2 014到2 016的箭头方向依次为( ) A．→↑ B．↑→ C．↓→ D．→↓
解析：选B 观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2 014到2 016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的．故选B.
3．根据给出的等式猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113
8 / 27
