第1课时 合情推理
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P22～P29的内容，回答下列问题． (1)哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？
提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没出现反例．于是提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．
(2)观察教材P24～P25的几个实例，这几个推理是归纳推理吗？它们有什么共同特点？ 提示：这几个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物间的推理． 2．归纳总结，核心必记 (1)归纳推理 ①归纳推理的定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
②归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理 ①类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．
②类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理 ①含义：
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
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②合情推理的过程： 从具体问题出发
观察、分析提出
归纳、类比
比较、联想猜想
[问题思考]
(1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
22＋122＋222＋3
(2)<，<，<，… 33＋133＋233＋3
22＋m由此猜想：<(m为正实数)．上述推理是归纳推理还是类比推理？
33＋m提示：归纳推理．
(3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？
提示：类比推理．
[课前反思]
(1)归纳推理的定义和特征各是什么？
(2)类比推理的定义和特征各是什么？
(3)归纳推理和类比推理有什么不同？
角度一：数(式)中的归纳推理 讲一讲
1．(1)观察下列各式：
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1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， ……
照此规律，第n个等式可为________．
(2)(链接教材P23－例2)若数列{an}的通项公式an＝
12
3
3
3
3
2
3
3
3
2
3
3
2
32
(n∈N)，记f(n)＝(1－
*
n＋1
a1)(1－a2)…(1－an)，通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的表达式．
[尝试解答] (1)左边各项幂的底数→右边各项幂的底数 1→1， 1,2→3， 1,2,3→6， 1,2,3,4→10，
由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般性结论：
13
＋23
＋33
＋…＋n3
＝(1＋2＋3＋…＋n)2
， 即13
＋23
＋33
＋…＋n3
＝??nn＋1?2??2?
.
(2)∵an＝
1n＋1
2
，
∴a＝111
14，a2＝9，a3＝16.
∴f(1)＝1－a31＝4
，
f(2)＝??1－11?
4?????
?
1－9
??＝4?6
，
f(3)＝3×8×15＝549168
. ∴推测f(n)＝n＋2
2n＋2
.
[答案] (1)13
＋23
＋33
＋…＋n3
＝?
?nn＋1?2?2??
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(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．
(2)数列中的归纳推理的方法：
①通过所给的条件求得数列中的前几项；
②观察数列的前几项，寻求项与项数之间的规律，猜测数列的通项公式并加以证明． 练一练
1．观察下列等式： 1＝1， 1－2＝－3， 1－2＋3＝6， 1－2＋3－4＝－10， …
照此规律，第n个等式可为 ___________________．
解析：观察规律可知，第n个式子为1－2＋3－4＋…＋(－1)
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n＋12
n＝(－1)n＋
nn＋1
2
.
2
2
2
2
答案：1－2＋3－4＋…＋(－1)角度二：图形中的归纳推理 讲一讲
n＋12
nn＋1
n＝(－1)n＋1
2
2．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31 C．32 D．36
(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．
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