导数 2016届
专项三：导数在研究函数中的应用
最值与极值
〖考纲解读〗
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、
极小值(对多项式函数不超过三次).
2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 〖知识梳理〗 1、求函数的极值
（1）设函数y?f(x)在x?x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的值都大（小），则称f(x0)是函数y?f(x)的一个极大（小）值。 （2）求函数的极值的一般步骤：
先求定义域D，再求导，再解方程f?(x)?0（注意和D求交集），最后列表求极值。
一般地，函数f(x)在点x0处连续时，如果x0附近左侧f?(x)?0，右侧
f?(x)?0，那么f(x0)是极大值；
一般地，函数f(x)在点x0处连续时，如果x0附近左侧f?(x)?0，右侧
f?(x)?0，那么f(x0)是极小值；
（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 （5）一般地，连续函数f(x)在点x0处有极值是f?(x0)?0的充分非必要条件。 （6）求函数的极值一定要列表。 2、用导数求函数的最值
（1）设y?f(x)是定义在闭区间?a,b?上的函数，y?f(x)在?a,b?内有导数，可以这样求最值：
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①求出函数在?a,b?内的可能极值点（即方程f/(x)?0在?a,b?内的根； x1,x2,?,xn）
②比较函数值f(a)，f(b)与f(x1),f(x2),?,f(xn)，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）如果是开区间(a,b)，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数 的最值。 〖分析考向〗
考向一：利用函数研究函数的极值 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f?(x)?0的根．
(3)用方程f?(x)?0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．
(4)由f?(x)?0的根左右的符号以及f?(x)在不可导点左右的符号来判断f?(x)在这个根或不可导点处取极值的情况. 【例】设f(x)?alnx?线垂直于y轴. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
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13?x?1,其中a?R,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切2x2导数 2016届
【练习1】已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c,下列结论中错误的是（ ） （A）?x0?R, f(x0)?0
（B）函数y?f(x)的图像是中心对称图形
（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(??,x0)单调递减 （D）若x0是f(x)的极值点，则 f?(x0)?0
【练习2】若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数
y?f(x)的极值点.
已知a，b是实数,1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点. (1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2,求g(x)的极值点;
考向二：利用函数研究函数的最值
函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a,b]上函数y?f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y?f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.
【例】已知函数f(x)?ax2?1(a?0),g(x)?x3?bx.
(1)若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;
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(2)当a2?4b时,求函数f(x)?g(x)的单调区间,并求其在区间(??,?1]上的最大值.
n?x)?b(x?0)【练习】设函数f(x)?ax(1,n为正整数,a,b为常数,曲线
y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x?y?1.(1)求a,b的值; (2)求函数f(x)的最大值;
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