1
[再练一题]
11
2．已知tan(α－β)＝2，tan β＝－7，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________. 【解析】 由于tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝
tan?α－β?＋tan β1－tan?α－β?·tan β
112－7π?1?
0，??＝
11＝3，所以α∈?4?， 1＋×
27
112＋3
又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝11＝1，
1－2×3?π?
而β∈?2，π?，所以2α－β∈(－π，0)，
??3π故2α－β＝－4. 3π
【答案】 －4
[探究共研型]
T(α±β)公式的变形及应用 探究1 你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？ (1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝__________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________.
tan αtan β＝_____________________________________________________. (2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝___________________________________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________.
tan αtan β＝_____________________________________________________. 【提示】 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2
1
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β) tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan?α＋β?
(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β) tan αtan β＝
tan α－tan βtan?α－β?
－1
探究2 结合T(α±β)公式想一想下列式子如何化简？ 1－tan α3＋tan α(1)＝________；(2)＝________. 1＋tan α1－3tan απ
tan1－tan α4－tan α?π?
?4－α? 【提示】 (1)＝＝tan??1＋tan α1＋tanπtan α
4πtan3＋tan α3＋tan α?π?
?3＋α? (2)＝＝tan??1－3tan α1－tanπtan α
3
已知△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，且3tan A＋3tan
B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
【精彩点拨】 充分结合T(α±β)的公式及变形求解． 【自主解答】 ∵3tan A＋3 tan B ＝tan Atan B－1，
∴3(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， 3∴＝－3， 1－tan Atan B3
∴tan(A＋B)＝－3. 5π
又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝6，
2
tan A＋tan B
1
π∴C＝6，
∵tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3， 3
tan C＝3，
33
∴tan B＋3＋tan B＝3，tan B＝3， π2π∴B＝6，∴A＝3，
∴△ABC为等腰钝角三角形．
1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
[再练一题]
3．求下列各式的值： 1－3tan 75°(1)；
3＋tan 75°
(2)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. 3
1－3tan 75°3－tan 75°
【解】 (1)＝
33＋tan 75°
1＋3tan 75°tan 30°－tan 75°＝ 1＋tan 30°tan 75°
2
1
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. tan 23°＋tan 37°(2)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝＝3，
1－tan 23°tan 37°∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝3. [构建·体系]
1.
1－tan 15°
＝________.
1＋tan 15°
tan 45°－tan 15°
【解析】 原式＝＝tan(45°－15°)
1＋tan 45°tan 15°3
＝tan 30°＝3. 3【答案】 3 2．计算
tan 51°－tan 6°
＝________.
1＋tan 51°tan 6°
【解析】 原式＝tan(51°－6°)＝tan 45°＝1. 【答案】 1
1
3．若tan α＝7，tan(α－β)＝－1，则tan β＝________. 【解析】 tan β＝tan[α－(α－β)]
2
