2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
22
2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx+ay=ab的图形是
yyyyOxOxOxOxA.2
3．过抛物线y=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于
16816(A) (B) (C) 3 (D) 83
333
5?2????4．若x∈[－ ，－ ]，则y=tan(x+ )－tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是
12336612111112
(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3
5665
B.C.D.二．填空题(每小题9分，共54分)
32
7．不等式|x|－2x－4|x|+3<0的解集是 ．
x2y2
8．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△
94
PF1F2的面积等于 ．
2
9．已知A={x|x－4x+3<0，x∈R}，
B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若A?B，则实数a的取值范围是 ．
35
10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若a－c=9，则b－d= ．
2411．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的
四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．
12． 设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，
SnTn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则lim= ．
n→∞Tn
五、(本题满分20分)
15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A?刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A?取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．
加试题
(10月12日上午10:00?12:00)
一、（本题50分）
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC． 求证：∠DBQ=∠PAC．
二、（本题50分）
设三角形的三边长分别是正整数l，m，n．且l>m>n>0．
?3??3??3?
已知?4?=?4?=?4?，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角
?10??10??10?
lmn形周长的最小值．
三、（本题50分）
12由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q+q+1，l≥q(q+1)2+1，
2
q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)．
2020年全国高中数学联赛解答
第一试
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C
22
【解析】45=2025，46=2116．
在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．
3．过抛物线y=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于
16816 (A) (B) (C) 3 (D) 83
333
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y==2
p4
k3
4434416
上，即AB中点为(，)，中垂线方程为y=－(x－)+，令y=0，得点P的坐标为．
333333
16
∴ PF=．选A．
3
5?2????4．若x∈[－ ，－]，则y=tan(x+)－tan(x+)+cos(x+)的最大值是
123366
