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{an}的通项公式.
（Ⅱ）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n?N*，三个数
A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
昌平区2014年高三年级第二次统一练习
数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.4
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 题 号 答 案
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） B A C D C A C D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
1 （9） （10）3
85（11）2 （12）4；
2（13）240 （14）（第一空2分，第二空3分）
2?2??22； 1616三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤.）
(15)(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）因为f(x)?cos2x?sinx?1
2 ?1?sinx?sinx?1 ???1分
2 ??sinx?sinx
2 ??(sinx?)?11 ， ???3分
247?7?1211113)??(sin?)???(??)2??? . ???6所以f(66242244分
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（或f(7?313 )?(?)2??1?? ???3分）
6224（Ⅱ）因为x?[?]
31所以sinx?[?,1]. ???8分
6?2?,2所以sinx?112?[?1,2].
所以(sinx?122)?[0,1]. 所以?(sinx?122)?[?1,0].
所以?(sinx?12)2?14?[?34,14]. 所以f(x)的取值范围为[?314,4].
(16)(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为?, 则?的取值分别为1,2,3. P(??1)?C124C21C3?； 65P(??2)?C214C23C3?；
653P(??3)?C04C21C3?； 65 考生甲正确完成题数?的分布列为 ? 1 2 3
P 1315 5 5
E??1?15?2?315?3?5?2. 设乙正确完成面试的题数为?，则?取值分别为0,1,2,3.
???10分
???12分
???13分
???1分
???3分 ??????4分
??????5分
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1013()?； P(??0)?C3327612112P(??1)?C3()()?,
3327122221P(??2)?C3()()?,
33278323P(??3)?C3()?. ??????7分
327 考生乙正确完成题数?的分布列为:
E??0?? P 0 1 2 3 1 276 2712 278 2716128?1??2??3??2. ??????8分 272727271312222(Ⅱ)因为D??(1?2)??(2?2)??(3?2)??, ?????10分
55551612822?(1?2)2??(2?2)2??(3?2)2??. ??12分 D??(0?2)?2727272732（或D??npq?）.
3 所以D??D?. (或：因为P(??2)?31128??0.8,P(??2)???0.74, 552727 所以P(??2)?P(??2). )
综上所述，
从做对题数的数学期望考查,两人水平相当； 从做对题数的方差考查,甲较稳定；
从至少完成2道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. ?????13分
（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.）
(17)(本小题满分14分)
证明：(Ⅰ)因为ABCD?A1BC11D1为正四棱柱，
所以AA1?平面ABCD，且ABCD为正方形. ???1分 因为BD?平面ABCD，
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所以BD?AA1,BD?AC. ???2分 因为AA1AC?A,
所以BD?平面A1AC. ???3分
因为AC?平面A1AC, 1所以BD?AC1. ???4分 (Ⅱ) 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz.则
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4) ???5分
uuuuruuur 所以D1A1?(2,0,0),DC?(0,2,?4). 1 设平面A1D1C的法向量n?(x1,y1,z1).
uuuur??x1?0,?n?D1A1?0, 所以 ?uuu.即???6r2y?4z?0?11??n?D1C?0分
令z1?1，则y1?2. 所以n?(0,2,1).
由（Ⅰ）可知平面AAC的法向量为 1uuurDB?(2,2,0). ??7分
uuur 所以cos?DB,n??410. ??8分 ?55?22 因为二面角A?AC1?D1为钝二面角，
所以二面角A?AC1?D1的余弦值为?10. ???9分 5uuruuur(Ⅲ)设P(x2,y2,z2)为线段CC1上一点,且CP??PC1(0???1).
