令则又故存在故
在
，
故故又故
，． ，
在，使得
，， 递减，
，
， 递减， ，
递增，在
，
，
2．【广东省汕头市2019届高三上学期期末】已知函数讨论
的单调性；
的两个极值点，证明：
．
．
若，是
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析 【解析】
，
令
时，当当在在
时，时，，，
，由上，，，则，函数
，可得
，解得，，函数上，函数
，函数
在
，，
． 的对称轴为
，
．
上是增函数；
，函数，
是增函数；
在
．
上是增函数；
是减函数． 是增函数；
综上可得：在在
，函数证明：假设
，．
是减函数． ，由，是函数
的极值点，则，是
的两个实数根，
，
．
即
．
令，即．
令，． ，
函数即
在．
内单调递减，．
．
3.【东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等2019届高三联合模拟】已知函数
．
（1）若（2）若
，证明：
；
只有一个极值点，求的取值范围．
.
【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 （1）当设函数当所以故而（2）设函数（i）当又故
在
时，，取b满足在
为，故时，
，则时，
；当
上单调递减，在的最小值，
，即， ，则，
在且等价于
，即，
时，单调递增．
；
．
．
；
上单调递增， ，则
，
上有唯一一个零点，
且当由于（ii）当（iii）当所以故①若因此②若因此③若又
，且在在
时，，所以时，时，若
，是
时，
的唯一极值点； 在时，
，
上单调递增，无极值点；
；若
单调递增．
时，
．
上单调递减，在为
的最小值，
时，由于在
，故
上单调递增，故时，由于上单调递增，故时，
，
，所以，则
只有一个零点，所以不存在极值；
，即不存在极值；
，即
．
时，
，所以，
而由（1）知取c满足故且当由于即
在在
，
有唯一一个零点；
时，
处取得极小值，在
，当
处取得极大值，
时，
有唯一一个零点，在时，故
在，当
上有两个极值点．
只有一个极值点时，的取值范围是
x+m综上，
4. 已知函数f(x)?e?x3,g?x??ln?x?1??2．
（Ⅰ）若曲线y?f?x?在点0，f?0?处的切线斜率为1，求实数m的值； （Ⅱ）当m?1时，证明：f?x??g(x)?x3. 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）解：因为f(x)?e所以f?(x)?ex+mx+m???x3，
?3x2.……………………………………………………………1分
因为曲线y?f?x?在点0，f?0?处的切线斜率为1，
所以f??0??e?1，解得m?0.…………………………………………………2分
m??（Ⅱ）证法一：因为f(x)?ex+m?x3,g?x??ln?x?1??2，
所以f?x??g(x)?x3等价于e当m?1时，e要证ex+mx+mx+m?ln?x?1??2?0．
?ln?x?1??2?ex?1?ln?x?1??2．
?ln?x?1??2?0，只需证明ex?1?ln(x?1)?2?0.………………4分
x?1以下给出三种思路证明e思路1：设h?x??e设p?x??ex?1?x?1?ln(x?1)?2?0．
?ln?x?1??2，则h??x??ex?1?1. x?111，则p??x??ex?1??0． 2x?1?x?1?1在??1，+??上单调递增．…………………6分 x?1所以函数p?x??h??x??ex?1?11??因为h?????e2?2?0，h??0??e?1?0，
?2?所以函数h??x??ex?1?1?1?在??1，+??上有唯一零点x0，且x0???,0?. x?1?2?1，即ln?x0?1????x0?1?.………………9分 x0?1 ………………………………8分 因为h??x0??0，所以ex0+1?当x???1,x0?时，h??x??0；当x??x0,???时，h??x??0，
所以当x?x0时，h?x?取得最小值h?x0?.………………………………………10分 所以h?x??h?x0?=e0?ln?x0?1??2?x?11??x0?1??2?0. x0?1综上可知，当m?1时，f?x??g(x)?x3. ……………………………………12分 思路2：先证明ex?1?x?2?x?R?．……………………………………………5分 设h?x??ex?1?x?2，则h??x??ex+1?1．
因为当x??1时，h??x??0，当x??1时，h??x??0，
所以当x??1时，函数h?x?单调递减，当x??1时，函数h?x?单调递增． 所以h?x??h??1??0． 所以ex?1?x?2（当且仅当x??1时取等号）．…………………………………7分
x?1所以要证明e?ln(x?1)?2?0，
只需证明?x?2??ln(x?1)?2?0．………………………………………………8分
