3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。 z?1,Rez?1（1）
2
解：由z?1，得x2?y2?1 Rez?11 又
2x?，得2
（2）Rez2?1
解：令 z?x?iy
由Rez2?1?x2?y2?1 即：y2?x2?1
y 0 有界，单连域
y -1 0 0 1 x 无界，单连域
z?1?2（3）z?1
54(x?)2?y2?()233 解：令z?x?iy 则：
y 3/5 x 无界，多连域
4．对于函数??f(z)?iz,D:Imz?0，描出当z在区域D内变化时，w的变化范围。 解：令z?x?iy
则w?f(z)?iz?i(x?iy)??y?ix ?Imz?0,则y?0
?Rew??y?0,
?w的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴
0 u v Rez5.试证z?0z不存在。
Rezlimxlimx?0x?iyz?0y?0zlim 证：
=
1 令y?kx 则：上述极限为1?ki不确定，因而极限不存在。
*6.思考题
（1）怎样理解复变函数w?f(z)？ 答：设w?u?iv,z?x?iy,则w?f(z)就是 u?iv?f(x?iy)?u(x,y)?iv(x,y)
?u?u(x,y)?即 ?v?v(x,y) 因此，一个复变函数f(z)与两个实变函数u(x,y)和v(x,y)相对应，从
几何意义上来说，复变函数可以看作是z平面上的点集D到w平面上的点集G上的映射。
（2）设复变函数f(z)当z?z0时的极限存在，此极限值与z趋于z0所采取的方式（取的路径）有无关系？
答：没有关系，z以任意方式趋于z0时，极限值都是相同的，反过来说，若令z沿两条不同的曲线趋于z0时极限值不相等，则说明f(z)在z0没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，x只能从左、右以任何方式趋于x0，而这里可以从四面八方任意趋于z0。
练 习 三
1．用导数定义，求f(z)?zRez的导数。 解：?z?0limf(z??z)?f(z)(z??z)Re(z??z)?zRez?lim?z?0?z?z
当z?0时，导数不存在，
zRe?z??zRez??zRe?zRe?z?lim(Rez?Re?z?z)?z?0?z?0?z?zRe?z?x?lim(Rez?)?lim(Rez?z?)?z?0?x?0?z?x?i?y?y?0?lim
当z?0时，导数为0。
2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？
1z （1）
1zxyf(z)??2?2?i2?u(x,y)?iv(x,y)zzx?iyx?y2解：
f(z)?y2?x2ux?2(x?y2)2?2xyvx?2(x?y2)2uy??2xy(x2?y2)2x2?y2vy?2(x?y2)2
当且仅当x?y时， f(z)满足C?R条件，故当x?y时f(z)可导，但在复平面不解析。
3223f(z)?x?3xy?i(3xy?y) （2）
解：令f(z)?u(x,y)?iv(xy)
ux?3x2?3y2 则
vx??6xyvy?3x2?3y2
uy?6xy因f(z)在复平面上处处满足C?R条件，且偏导数连续，故f(z)可导且解析。
3．设my?nxy?i(x?lxy)为解析函数，试确定l,m,n的值。 解：由C?R条件可知： 2nxy?2lxy 又 3my?nx??3x?ly22223232所以 n?l
所以 3m??l,且n??3
?m?1?即 ?n?l??3
4.设f(z)在区域D内解析，试证明在D内下列条件是彼此等价的。 （1）f(z)=常数； （2）f?(z)?0； （3）Ref(z)?常数 （2）Imf(z)?常数； （5）f(z)解析； （6）f(z)?常数。 证:由于f(z)在且域D内解析，则可得C?R方程成立，即
?u?v?u?v????x?y且?y?x
1）→2）由f(z)?c则f?(z)?c??0在D内成立，故（2）显然成立，
f?(z)?2）→3）由
?u?v?v?u?u?u?i??i?0???0?u(x,y)?x?x?y?y?x?y是常数
即 Ref(z)?常数
??v?0????y???v(x,y)?u?u??v?0????0??x?y3）→4） u?常数 由C?R条件 ??x是常数
?Imf(z)?常数
4）→5）若Imf(z)?c,f(z)?u?ic,f(z)?u?ic1,因f(z)在D内解析
?u?v?c?u?v?c???0,?????0?x?y?y?y?x?x ?u?(?c)?u?(?c)?,???y?y?x 即 ?x?一阶偏导连续且满足C?R条件?f(z)在D内解析
5）→6） f(z)?u?iv,g(z)?f(z)?u?iv 因g(z)解析，则由C?R条件
?u?v??,?x?y?u?v???y?x， 对f(z)在D内解析，
