2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分） 1. 已知x?111?3，则x10?x5?5?10?_________。 xxx222. 满足方程?x?3??y2??x?y??3的所有实数对?x，y?为__________。
?C?90，BC?6，CA?3，3. 已知直角三角形ABC中，CD为?C的角平分线，则_________。
4. 若前2011个正整数的乘积1?2???2011能被2010整除，则正整数kk?y的最大值为________。
5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，
M0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，
OB若OM=MN，则点M的坐标为_________。
6. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是_________。
ANCx0且关于x的一元二次方程7. 整数p，q满足p?q?201，
AEHD67x2?px?q?0的两个根均为正整数，则p?________。
8. 已知实数a，b，c满足a?b?c，a?b?c?0且a?0。设x1，x2是方程ax?bx?c?0的两个实数根，则平面直线坐标系内两点
2OBFGCAA?x1，x2?，B?x2，x1?之间的距离的最大值为_______。
9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为
1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于_______。
10. 设a，b，c是整数，1?a?b?c?9，且abc?bca?cab?1能被9整除，则a?b?c的最小值是_________，最大值是__________。
二、 解答题（每题15分，共60分）
11. 已知面积为4的?ABC的边长分别为BC?a，CA?b，AB?c，c?b，AD是?A的角平分线，点C'是点C关于直线AD的对称点，若?C'BD与?ABC相似，求?ABC的周长的最小值。 A
C'
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BPEQCDBDC12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中，使得三位数abc求三位数ceg的 ， def ， ghi ， beh ， cfi 和aei都能被11整除，大值
222abcdefghi7个最
13. 设实数x，y，z满足x?y?z?0，且?x?y???y?z???z?x??2，求x的最大值和最小值
b形式的数为“好数”，其中a，b都是整数 14. 称具有a?161（1）证明：100，2010都是“好数”。 （2）证明：存在正整数x，y，使得x
16122?y161是“好数”，而x?y不是“好数”。
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