1、对于任意实数a,b，定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5，则实数a的值是 。 【答案】4，?13 22、在三角形ABC中，AB?b2?1,BC?a2,CA?2a，其中a,b是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】0
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94
4、已知关于x的方程x4?2x3?(3?k)x2?(2?k)x?2k?0有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5
5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜
EPB边小值
AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最为 。
25【答案】
5CF第五题图A6、设a，b是方程x2?68x?1?0的两个根，c，d是方程
x2?86x?1?0的两个根，则(a+ c)( b + c)( a ? d)( b ? d)的值 。
【答案】2772
7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。
41
【答案】?k?
8方程xyz=2009的所有整数解有 组。 【答案】72
9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E ，则∠AEB= 。 【答案】21°
DA1332C
DMBEC第九题图
A第十题图B
10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。 【答案】300?1503 二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。 解：设BC=x，则BD?x2?1，AB?x2?16，如图，作∠ABD平分
CADE第二大题图B线BE，则?BDE??ADB,因此
BD2?DE?DA?3DE。
由角平分线定理可知
DEBDDEBD3BD????DE?。 AEABAE?DEAB?BDAB?BD42
因此x?1?29x2?1x2?16?x2?1，解得BC?x?411 11三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，abcd?(ab?cd)2其中数字c可以是0。
解：设x?ab,y?cd,，则100x?y?(x?y)2，故x2?(2y?100)x?(y2?y)?0有整数解，由于10< x < 100，故y≠0。因此?x?(2y?100)2?4(y2?y)?4(2500?99y)是完全平方数，
t0)?t，0≤ 50- t<50+ t 之和为100，而且可设t2?2500?99y，故99y?(50?)(5其中有11的倍数，只能有50?t= 1或50?t=45，相应得到y=1,25，代入解得
?x?98?x?20?x?30,?,??因此abcd?9801,2025,3025。 ??y?1?y?25?y?25四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。
解：由于22,32,52,72,112,132,172,192,232,292,312,372,412,432这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。
而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数a1,a2,?,a15的最小素因子则必有一个素数≥47，不失一般性设p15?47，由于p15是合数a15p1,p2,?,p15，
的最小素因子，因此a15?p152?47?2009，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。
五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,a2?b与a?b2都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。
①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；
②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；
43
③证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数； 解：①不难验证(a,b)?(2?,?2)是和谐的。
②由已知t?(a2?b)?(a?b2)?(a?b)(a?b?1)是有理数，a?b?s是有理数，因此
a?b?t1t?，解得a??s???是有理数，当然b=s?a也是有理数。 a?b?12?s?1?abab1122③若a?b2?0，则b??是有理数，因此a?(a?b2)?b2也是有理数。若
a2?b2a?b?0，由已知x??b2aa?bb????1b?是有理数，y?a也是有理数，因此
b???1b??1a2xy?11y2?x，故b?2是有理数，因此a?(a?b2)?b2也是有理数。 ?y?xbxy?1
2008年新知杯上海市初中数学竞赛
44
