章丘一中王希刚
（Ⅲ）若P0(1,0)，且yn?100，记T??xi，求T的最大值.
i?0n
【答案】解：（Ⅰ）因为
?x+?y=3(?x,?y为非零整数）
故?x?1,?y?2或?x?2,?x?1，所以点P0的相关点有8个??????2分 又因为(?x)2?(?y)2?5，即(x1?x0)?(y1?y0)?5
所以这些可能值对应的点在以P0为圆心，5为半径的圆上??????4分 （Ⅱ）依题意Pn(xn,yn)与P0(x0,y0)重合
则xn?(xn?xn?1)?(xn-1?xn?2)?...?(x2?x1)?(x1?x0)?x0?x0，
22yn?(yn?yn?1)?(yn-1?yn?2)?...?(y2?y1)?(y1?y0)?y0?y0
即(xn?xn?1)+(xn-1?xn?2)+...+(x2?x1)+(x1?x0)=0，
(yn?yn?1)+(yn-1?yn?2)+...+(y2?y1)+(y1?y0)=0
两式相加得
[(xn?xn?1)+(yn?yn?1)]+[(xn?1?xn?2)+(yn-1?yn?2)]+...+[(x1?x0)+(y1?y0)]=0（*）
因为xi,yi?Z，xi?xi?1?yi?yi?1?3(i?1,2,3,...,n) 故(xi?xi?1)+(yi?yi?1)(i=1,2,3,...,n)为奇数，
于是（*）的左边就是n个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n一定为偶数??????8分
（Ⅲ）令?xi?xi?xi?1,?yi?yi?yi?1,(i?1,2,3,...,n)， 依题意(yn?yn?1)?(yn?1?yn?2)?...?(y1?y0)?100， 因为T??xi?0ni?x0?x1?x2???xn
?1?(1??x1)?(1??x1??x2)???(1??x1??x2????xn)
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?n?1?n?x1?(n?1)?x2????xn??????10分
因为有?xi+?yi?3，且?xi，?yi为非零整数， 所以当?xi?2的个数越多，则T的值越大，
而且在?x1,?x2,?x3,..,?xn这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T的值越大 而当?yi取值为1或?1的次数最多时，?xi取2的次数才能最多，T的值才能最大. 当n?100时，令所有的?yi都为1，?xi都取2， 则T?101?2(1?2???100)?10201. 当n?100时，
若n?2k(k?50,k?N*)，
此时，?yi可取k?50个1，k?50个?1，此时?xi可都取2，S(n)达到最大 此时T=n?1?2(n?(n?1)???1)?n2?2n?1.
若n?2k?1(k?50,k?N),令?yn?2,其余的?yi中有k?49个?1，k?49个1. 相应的，对于?xi，有?xn?1,其余的都为2， 则T?n?1?2(n?(n?1)???1)?1?n?2n
当50?n?100时，令?yi?1,i?2n?100,?yi?2,2n?100?i?n, 则相应的取?xi?2,i?2n?100,?yi?1,2n?100?i?n,
则T=n?1+2(n?(n?1)??(101?n))?((100?n)?(99?n)??1)
2*n2?205n?10098?
2?n2?205n?10098, 50?n?100,?2??2综上，T??(n?1), n?100且为偶数，??????13分
?n2+2n, n?100且为奇数.???24．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)
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设A是由m?n个实数组成的m行n列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表A如表1所示,若经过两次“操作”,使
1 2 1 3 0 ?7 1 ?2 得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1
(Ⅱ) 数表A如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数．．a的所有可能值;
aa2?1?a?a2(Ⅲ)对由m?n个实数组成的m行n列的任意一个数表A,
2?a1?a2a?2a2能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 【答案】(I)解:法1:
123?712371237改变第4列改变第2行 ?????????????2101?210?12?101法2:
123?7123?71237改变第2行改变第4列 ?????????????21012?10?12?101法3:
123?7?123?7?1237改变第1列改变第4列 ?????????????21012101210?1(II) 每一列所有数之和分别为2,0,?2,0,每一行所有数之和分别为?1,1; ①如果首先操作第三列,则
aa2?1a?a2
2?a1?a22?aa2则第一行之和为2a?1,第二行之和为5?2a,
这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a?当a?15或a? 221时,则接下来只能操作第一行, 2?aa22?aa2?a1?a22?a1?a2
此时每列之和分别为2?2a,2?2a2,2?2a,2a2 必有2?2a2?0,解得a?0,?1
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章丘一中王希刚
当a?5时,则接下来操作第二行 2aa2?1a?a2
a?2a2?1a?2?a2此时第4列和为负,不符合题意 ② 如果首先操作第一行
?a1?a22?a1?a2aa2 2a?2a则每一列之和分别为2?2a,2?2a2,2a?2,2a2
当a?1时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当a?1时,2?2a,2a?2至少有一个为负数,
所以此时必须有2?2a2?0,即?1?a?1,所以a?0或a??1 经检验,a?0或a??1符合要求 综上:a?0,?1
(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下:
记数表中第i行第j列的实数为cij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n),各行的数字之和分别为
a1,a2,?,am,各列的数字之和分别为b1,b2,?,bn,A?a1?a2???am,B?b1?b2???bn,
数表中m?n个实数之和为S,则S?A?B.记
K?mink1ci1?k2ci2???kncin|kl?1或?1(l?1,2,?,n)且k1ci1?k2ci2???kncin?01?i?m??T?mint1c1j?t2c2j???tmcmjts?1或?1(s?1,2,?,m)且t1c1j?t2c2j???tmcmj?0
1?j?n?|???min?K,T?.
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起A(和B)增大,从而也就使得S增加,增加的幅度大于等于2?,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,S必然小于等于最初的数表中m?n个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止.终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,S就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立
25．（2013届北京丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列
a1,a2,???,an为n
（n=2,3,4,?,）阶“期待数列”： ① a1?a2?a3???an?0； ② a1?a2?a3???an?1.
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
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