与圆锥曲线有关的几个最值问题
平面解析几何是一门研究点的运动变化规律的学科，圆锥曲线中的范围问题或最值问题较为常见，所涉及的知识面也较为广泛，是教师和同学感觉较为棘手一个难点。下面就几个常见的最值问题谈几个常见的解决方法。
一、圆锥曲线上的任一点与圆锥曲线对称轴上某一定点的距离的最值问题：
求圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题，可借助“点在曲线上”实现变量统一，将横纵坐标两个变量中的一个用另一个表示，构造关于其中一个坐标的二次函数求最值。
x22例1、（06全国高考题）设B是椭圆2?y?1(a?1)短轴的一个端点，P为椭圆上ay 的一个动点，求|BP|的最大值。
解：由题意，B点坐标为B(0,b)。设P(x0,y0)， 则|BP|?x0?(y0?b)，
2222B x P （图一） x2222因为P是椭圆上的点，所以02?y0?1(a?1)，则有x0?a(1?y0)，且?b?y0?b，
a|BP|2?a2(1?y0)?(y0?b)2所以
2??(a2?1)y0?2by0?a2?b2b2a4?a2?a2b2??(a?1)(y0?2)?(?b?y0?b)a?1a2?122
b2a4?a2?a2b2)?(?b?y0?b) 令f(y0)??(a?1)(y0?22a?1a?12因为a?1，所以a2?1?0，则 若a?1?1，即a?22，则当y0??b时，(|BP|2)max?f(?b)?2b2?2；
22若0?a2?1?1，即1?a?2，则当y0??b时，(|BP|)max?f(?b)?2b?2；
ba4?a2?a2b2b2)?若a?1?1，即a?2，则当y0??2时，(|BP|)max?f(?2。 2a?1a?1a?12综上：略。
说明：在圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题中，所给定点一般都是圆锥曲线的对称轴上的点，否则变量统一往往比较困难。
x2y2??1的焦点，点P在双曲线例2、（03上海理12）给出问题：F1,F2是双曲线
1620上。若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。
某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|?|PF2||?8，即|9?|PF2||?8，得|PF2|?1或17。
该学生的解答是否正确？若正确，请写出他的解题依据；若不正确，请写出正确结果。
x2y2222分析：利用例1的方法易证，双曲线2?2?1(a?0,b?0,c?a?b)上到其一
ab焦点F的距离最近的点P是与这个焦点对应的一支的顶点A，即|PF|min?c?a。所以本例中|PF2|min?6?4?2，故|PF2|?17符合题意。
二、与圆锥曲线的定义所涉及的一些特殊点有关的最值问题：
求圆锥曲线上任一点与一个或几个定点的距离的最值问题中，如果所给定点与圆锥曲线定义有关，不妨利用定义中所蕴藏的内在关系解决问题。
x2y2例3、（06江西高考题）P为双曲线C:??1右支上一点，M,N分别是圆
916F1:(x?5)2?y2?4和F2(x?5)2?y2?1的点，则|PM|?|PN|的最大值
是 。
解：如图三，两定圆的圆心F1(?5,0)、F2(5,0)即双曲线C的左右焦点，由双曲线定义可
|a|PN|min?|PF2|?r2?|PF2|?1，知|PF1|?|PF2|?6。又|PMxm?|PF1|?r1?|PF1|?2，
所以(|PM|?|PN|)max?|PM|max?|PN|min?|PF1|?|PF2|?2?1?6?3?9。
y P N M F1 F2 x y B M// F1 M/ A x
（ 图二 ） （图三）
x2y2??1内的点，M是椭圆上的动点，求例4、已知A(4,0),B(2,2)是椭圆C:259|MA|?|MB|的最大值与最小值。
解：由题意，点A即椭圆右焦点F2（如图三），设椭圆左焦点F1，则F1(?4,0)，由椭
圆定义可知|MA|?2a?|MF1|?10?|MF1|，则|MA|?|MB|?10?|MB|?|MF1|，显然，当
M、F1、B三点共线时，||MA|?|MB||max?|BF1|?210，所以
(|MA|?|MB|)max?10?210，(|MA|?|MB|)min?10?210。
说明：三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，“两点之间线段最短”等平面几何中的一些重要结论是平面解析几何中求解最值问题的一些理论依据，问题在于如何将所要解决的最值问题转化成这些广为人知的数学模型。
三、圆锥曲线上的任意点到某一定直线的距离的最值问题：
求圆锥曲线上任一点到某一定直线的距离的最值，借助“点在曲线上”实现变量统一往往比较困难，这时可借助“切线平移法”实现变量统一或“三角代换”求最值。
例5、（06全国高考题）求抛物线y??x上的点到直线l:4x?3y?8?0距离的最小值。 解法一：设抛物线y??x上任一点P坐标为(x0,y0)，则点P到直线4x?3y?8?0的距离为d?22|4x0?3y0?8|4，下面同例1解法易得dmin?。
35l l? O y 解法二：（切线平移法）
设与直线l平行的直线l?的方程为：4x?3y?b?0， 则直线l?平移到与抛物线相切时的切点Q即抛物线上到 直线l最近的点，直线l与l?的距离即所求最小距离。
Q x ?4x?3y?b?042?3x?4x?b?0由?，则由△。 ?16?12b?0?b??23y??x?4|??8|423则抛物线y??x上的点到直线l:4x?3y?8?0距离的最小值为d??。
53说明：在求椭圆或双曲线一支上的一点到一条定直线的距离的最值问题中，“变量统一”
很难做到，在这种情况下，“切线平移法”就显得较为方便。
x2?y2?1上的点到直线l:x?y?3?0距离的最小值。 例6、求椭圆4解法一：（切线平移法）设与直线l平行的直线l?的方程为：x?y?b?0，
?x?y?b?0??5x2?8bx?4b2?4?0，则由△?0?b??5， 由?x22??y?1?4则l?:x?y?5?0，则dmax?|5?3|2?6?10|5?3|6?10,dmin??。 222解法二：（三角代换法）
?x0?2cos?x2设P(x0,y0)为椭圆上任一点，因为，则点P到直?y2?1，所以可设?4?y0?sin?线l距离为d?|2co?s?si?n?3|2?|5si?n?(?)?3|2,(????arct2)a，n则
dmax?|5?3|2?6?10|5?3|6?10,dmin??。 222说明：与圆、椭圆或双曲线有关的最值问题中，利用三角比中的平方关系实现变量统一
也是平面解析几何中一种较为常见的方法。
通过前面几种常见最值问题的赘述可以看到，解析几何中的最值问题和以前所学过的知识是存在着一种紧密的内在联系的，只要我们能够深刻理解圆锥曲线的定义及方程所揭示的内涵，灵活运用数形结合的数学思想，就可以将问题转化为我们所熟悉的一些数学模型，将问题解决。
练习： 1、（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x?（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点A的坐标为(?5,0)，B是圆x?(y?5)?1上的点，点
225，离心率e?5． 5M在双曲线右支上，求MA?MB的最小值，并求此时M点的坐标；
w.w.w.s.5.u.c.o.m
解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为
