信号与系统复习题
1、描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
y(0_)=2，y’(0_)= -1 y(0_)= 1，y’(0_)=0 求系统的零输入响应。 求系统的冲击相应
求系统的单位阶跃响应。 解：
2、系统方程 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)?2，k≥0。求方程的解。 解：特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0
代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4
所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0
故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4
3、系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)
已知激励f(k)?2, k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：：（1）yzi(k)满足方程
yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0
yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1),
yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2
解为 yzi(k)=Czi1(– 1)k+ Czi2(–2)k 将初始值代入 并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2
yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
（2）零状态响应yzs(k) 满足：yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)，
yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1
kk
分别求出齐次解和特解，得
yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k)
= Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得
Czs1= – 1/3 , Czs2=1
yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k ，k≥0 4、系统的方程:
y?k??3y?k?1??2y?k?2??f?k??f?k?1?
f?k????2?k??k?y?0??y?1??0
求系统的零输入响应。 解：
5、已知单位阶跃函数的傅里叶变换：?(t)?????(?)?1 j?求下面矩形脉冲 (门函数）的傅里叶变换，并画出其频谱图。
2sin(F(j?)?解：
??2)??Sa(??2??t)
6、求函数f(t)?e?(t)，? >0的傅里叶变换，并画出其频谱图。 7、已知矩形脉冲gτ?t?的傅里叶变换如为G??j?????Sa?求信号f?t??g??t?cos??0t?的傅里叶变换。 8、已知系统的微分方程为y′(t) + 2y(t) = f(t)， 求系统的频率响应函数H(j?)。 求f(t)?e?(t)时零状态响应y(t)。
?j??d?解 ：由H(jw)的定义 H(j?)?F[h(t)]????h(?)e??t?????，其中τ为脉冲宽度。 ?2?
则有：( j?)2Yf(j?)?3j?Yf(j?)?2Yf(j?)?F(j?)
1Y(j?)?则解的 H(j?)?f 2F(j?)(j?)?3(j?)?2
9、如图电路，R=1Ω，C=1F，以uc(t)为输出，求冲击相应h(t)。
RuS(t)CuC(t)
解：取Uc(t)为输出，则网络函数为H（s）=Uo(s)/Ui（s）=1/sc/R+1/sc=1/RC*1/S+1/RC S= —1/RC
则电路的冲击响应为：U（s）=1/sc/R+1/sc=1/RC*1/S+1/RC
若取Ic(t)为输出时，则网络函数为：H(s)=Ic(s)/Ui(s)=1/R+1/SC=1/R*S/S+1/RC
电路的零输入响应：Us=Uc（0-）/S*Ｒ/Ｒ＋１/ＳＣ＝Ｕｃ（０—）/Ｓ＋１/ＲＣ
10、求下面信号的单边拉氏变换
cos(?t)；sin(?t)；e??tsin(?t)?(t)；e??tcos(?t)?(t)
f(t)???1；如果0?t?? ?0；其它解：sin wt?1(ejwt?e?jwt
2j)
1 F(s)?LT[sinwt]?11w2j[s?jw?s?jw]?s2?w2
coswt?1(ejwt?e?jwt)
2
F(s)?LT[coswt]?112[s?jw?1s?jw]?ss2?w2
e?atsinwt?e?at1(ejwt?e?jwt)?1[e?(a?jw)t?e?(a?jw)t
2j2j]F(s)?LT[e?at111 sinwt]?2j[s?(a?jw)?s?(a?jw)] w ?(s?a)2?w2
cos(?)?s0t)?(ts2??20
e??tcos?s??0t?(t)?同理：
?s???2??2 0Re[s]???sin(?0t)?(t)??0s2??20Re[s]???
?0??t esin(?0t)?(t)?22s????0??
11、描述某LTI系统的微分方程为
y\t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t) 求系统函数H（s）
已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，求零输入响应 求f(t)?e??t?(t)时系统的零状态响应
2,s)解： 方程取拉氏变换：sY(s)?sy(0?)?y(0?)? 5[sY(s)?y(0?)]?6Y(
?2sF(s)?6F(s)
sy(0?)?y'(0?)?5y(0?)2(s?3)整理得：Y (s)??F(s) 22s?5s?6s?5s?6
112、已知如下的系统
F(s) 4 ∑∑∫∫
f (t)y(t)3
2
请画出系统在s域的框图。 求系统函数H(s)。
求系统的冲击响应。?
解：解 画出s域框图，设最右边积分器输出为X(s)
1X(s)?2F(s)s2X(s) = F(s) – 3sX(s) – 2X(s)
s?3s?2
s2?4Y(s) = 4X(s) + s2X(s) ?F(s)2s?3s?2
微分方程为 y\f \f (t) 方程取拉氏变换： 整理得：Y（s）= 13、如图所示的系统
