第1讲 平面向量的概念及线性运算
[基础题组练]
→
1．下列各式中不能化简为PQ的是( ) →→→
A.AB＋(PA＋BQ) →→→C.QC－QP＋CQ
→→→→B．(AB＋PC)＋(BA－QC) →→→D.PA＋AB－BQ
→→→→→→→→→→→→→→→
解析：选D.AB＋(PA＋BQ)＝AB＋BQ＋PA＝PA＋AQ＝PQ；(AB＋PC)＋(BA－QC)＝(AB＋BA)→→→→→→→→→→→＋(PC－QC)＝PC＋CQ＝PQ；QC－QP＋CQ＝PC＋CQ＝PQ；
→
PA＋AB－BQ＝PB－BQ，
→→→显然由PB－BQ得不出PQ， →
所以不能化简为PQ的式子是D.
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反 C．|－λa|≥|a|
B．a与λa的方向相同 D．|－λa|≥|λ|a
2
→→→→
解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
3．(2020·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，→→→→→→
|AB|＝6，|CA＋CB|＝|CA－CB|，则|CM|＝( )
A．12 C．3
B．6 3D. 2
→→→→→→→→
解析：选C.因为|CA＋CB|＝2|CM|，|CA－CB|＝|BA|，所以2|CM|＝|BA|＝6， →
所以|CM|＝3，故选C.
4．已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是( ) A．|a|＋|b|≥|a－b| B．|a·b|≤|a|·|b| C．(a－b)＝a－2a·b＋b
D．(a－b)＝a－3a·b＋3a·b－b
解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正确；
1
3
3
2
2
3
2
2
2
因为|a·b|＝|a||b||cos a，b|，又|cos a，b|≤1，
所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正确；
由向量数量积的运算，得(a－b)＝a－2a·b＋b，C正确；根据排除法，故选D. 5．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2
2
2
解析：选A.若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线， 即a＝λb，且λ＞0，故q ?/ p. 所以p是q的充分不必要条件，故选A.
6．(2020·温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段
AB交于点D，若OC＝λOA＋μOB(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0，1) C．(1，2 ]
B．(1，＋∞) D．(0，2 )
→→→
→→→→
解析：选B.由题意可得OD＝kOC＝kλOA＋kμOB(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，所1
以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．
k→→→→
7．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________(用a，b表示)．
→→→→→→→→→
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
答案：b－a －a－b
→→→→
8．(2020·温州质检)如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG＝2GO，设CD∥AG，→1→→
若AD＝AB＋λAC(λ∈R)，则λ的值为 ________．
5
→→→1→2→1→1→→→→→→
解析：因为BG＝2GO，所以AG＝AB＋AO＝AB＋AC，又CD∥AG，可设CD＝mAG，从而AD3333
m1m6→→→m→m→?m?→m→→1→→
＝AC＋CD＝AC＋AB＋AC＝?1＋?AC＋AB.因为AD＝AB＋λAC，所以＝，λ＝1＋＝.
33353535?3?
2
6答案：
5
→→→
9．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．
→→→→→→→→→
解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8＋5→→→→
＝13；当AB，AC不共线时，3＜|BC|＜13.综上可知3≤|BC|≤13.
答案：[3，13]
→→→
10．(2020·杭州中学高三月考)已知P为△ABC内一点，且5AP－2AB－AC＝0，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于________．
→→→
解析：因为5AP－2AB－AC＝0， →2→1→所以AP＝AB＋AC，
55
5→2→1→→
延长AP交BC于D，则AP＝AB＋AC＝AD，
3332
从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD＝CB，
3
232
设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为×d＝d，
3552
所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为.
52答案：
5
11.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，→→→→
且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
→1→→11解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.
222→
AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)
2→1→→1→1→11
＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b. 333333
→→→→
12．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n→→→
2→3→1→→
3
11
∈R，求＋的值．
nm→→→1→→→→→→1
解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a＋b)
33
?1?1
－ma＝?－m?a＋b.
?3?3
3
→→
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，
?1?1
即nb－ma＝λ?－m?a＋λb，
?3?3?1?－m＝λ?－m?，???3?
从而?
1??n＝3λ，
11
消去λ，得＋＝3.
nm[综合题组练]
→→
1．设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是( ) 1A. 32C. 3
1B. 23D. 4
→|CP|2→→
解析：选B.因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的
→1|PA|
S△PAB|PA|1
高相等，所以＝＝. S△PBC→2
|CP|
2．(2020·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线→→→
段DE上，若AP＝xAB＋yAC，则xy的取值范围是( )
→
?14?A.?，? ?99??21?C.?，? ?92?
?11?B.?，? ?94??21?D.?，? ?94?
1?→→?2
解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使PB＝λBC?－≤λ≤－?，
3??3
??y＝－λ1→→→→→→→
所以AB－AP＝λ(AC－AB)，所以AP＝－λAC＋(λ＋1)AB，则?，所以x＋y＝1且≤
3?x＝λ＋1?
1?212111?x≤，于是xy＝x(1－x)＝－?x－?＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝
3243?2?422?21?时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为?，?，故选D. 39?94?
3．(2020·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的→→→→
直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n＝
4
