论以及后来天体力学的研究中，都有意识地发展拓扑的思想．他从1892年起对拓扑学开始进行系统地研究．在1895年到1904年发表的关于“位置分析”的六篇论文中，他创造了组合拓扑学的基本方法并引进重要的不变量，同调及贝蒂数(1895)、基本群(1895)、挠系数(1899)，并进行具体计算．他还证明了庞加莱对偶定理的最初形式．1904年他提出了著名的庞加莱猜想；单连通、闭(定向)三维流形同胚于球面．他有意识地研究两个闭流形(首先是三维流形)同胚的条件．在他的第二篇补充(1900)中，曾猜想如果两个闭流形的贝蒂数及挠系数对应相等，则它们同胚．但不久(1904)他自己就举出反例，因而他进一步把基本群考虑进去．1919年美国数学家亚力山大(J.w.Alexander，1888—1971)举出两种透镜空间，证明它们贝蒂数、挠系数和基本群对应相等，但仍不同胚．至今三维流形的同胚问题尚未解决．
布劳威尔继庞加莱之后对拓扑学做出突出贡献，创造单纯逼进方法，使拓扑学的证明有了严格的基础．1915年亚历山大证明贝蒂数及挠系数的拓扑不变性．对偶定理是拓扑不变量之间关系的重要方面，1922年亚力山大证明亚历山大对偶定理，是对庞加莱对偶定理的重要补充及发
展．1930年，列夫希兹(S．Lefsc－hetz，1884—1972)证明列夫希兹对偶定理，以上述两定理为其特殊情形．
对基本的拓扑不变量加以改造，早在1908年蒂茨的文章中已经开始，他和其他人开始考虑整数以外的系数，如模p系数及有理数．1926年亚历山大引进Zn系数．1925年底到1926年初，诺特同亚历山大洛夫等拓扑学家接触时，曾建议把组合拓扑学建立在群论基础上，在她的影响下，浩普夫(H．Hopf，1894—1971)于1928年定义同调群，但诺特的思想直到以后才逐步为大家了解和接受．1935年切赫(E．Cech，1893—1960)考虑系数取在任何交换群中．
二十年代起，数学家曾试图把同调论从流形逐步推广到更一般的拓扑空间．先是维埃陶瑞斯(L.Vietoris，1891—)(1927)、亚历山大洛夫(1928)等人推广到紧度量空间，继而切赫推广到一般拓扑空间(1932)，即所谓切赫同调论．同时列夫希兹发展了奇异同调论．这是两个最重要的同调理论．在代数与几何的对偶观念的影响下，许多数学家在三十年代初提出同调群的对偶观念——上同调群．除了同调群和上同调的加法结构外，许多人从各个角度寻找其中的乘法结构，列夫希兹和浩普夫在1930年左右研究流形的交口环．1935年到1938年亚力山大、切赫、惠特尼(H．Whitney，1907—1989)、柯尔莫哥洛夫(А．Н．Колмогоров，1903—1987)等人独立引进复形的上积．后来才证明(1952)一般同调不一定有上同调那种自然的乘法．上同调具有环的结构，带来更多的应用．1947年，斯廷洛德(N．Steenrod，1910—1971)定义了平方运算，后来发展成上同调运算的理论．
同样在三十年代，另一个更广泛的概念——同伦产生了．同伦观念的重点由拓扑空间的性质转移到空间与空间的映射的性质上．1895年庞加莱定义的基本群是第一个同伦群．其后布劳威尔、浩普夫等人对于球面到球面的映射进行过初步的研究，得出拓扑度的概念．尤其是1931年浩普夫
映射的发现促使人们注意连续映射的研究．1932年，切赫在国际数学家大会上定义了高维同伦群，但未引起注意．1933年波兰数学家虎尔维兹(W．Hure- wicz，1904—1956)对连续映射进行研究，在1935—1936年发表四篇论文，定义了高维同伦群并研究了其基本性质．虎尔维兹还定义了伦型的概念，由于当时所知的大多数拓扑不变量均为伦型不变量，使同伦论的研究有了巨大的推动力．1942年列夫希兹的《代数拓扑学》问世，标志着组合拓扑学正式转变为代数拓扑学．
第二节 老学科的新进展
一、复变函数论
19世纪数学上最主要的成就之一是复变函数论的产生与发展．有人说“19世纪是函数论的世纪．”实际上，19世纪研究的主要是特殊函数，特别是椭圆函数及其推广，以及特殊的应用，尤其是用残数演算计算定积分和为绘制地图而进行的保形变换的研究．复变函数论三个奠基人是柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯，他们各有一套方法和课题，各有自己的追随者．到19世纪末，出现了这三条途径的融合，形成了统一的复变函数论，另外，把一般函数论作为函数论的主要方向大大扩充了函数论的研究领域．
整函数及亚纯函数理论．比多项式复杂的函数是超越整函数，n次多项式有n个根，它可以表示为各因子的乘积．如果复变元z的复值函数在所有不等于∞的点z处全纯，则称f(z)为整函数．当∞是f(z)的极点，f(z)就是多项式，而不是多项式的整函数，就是超越整函数，例如ez，，sinz，cosz等．魏尔斯特拉斯最先研究一般(超越)整函数，他在1876年把整函数表示成典范乘积．他还证明，所有复值都是f(z)可以趋于任何复数值C．1879年法国数学家皮卡(E．Picard，1895—1941)证明了皮卡大定理：每一个超越整函数f(z)对每一有限值w，最多除了一个之外，都取无穷多次．这个定理成为后来值分布理论的出发点．这个可能不取的值称为例外值，如果我们把∞也算一个值，则例外值可以有两个．儒利雅(G．Julia，1893—1978)在1919年把皮卡定理加以精密化，他证明，对于超越整函数，至少存在一个方向，在这个方向的狭窄角域中，皮卡定理也成立，这个方向称为儒利雅方向．
比整函数再稍微复杂一些的函数是亚纯函数(半纯函数)，它在复平面上可以有极点．同样，魏尔斯特拉斯也给出了表示．1877年瑞典数学家米塔格—莱夫勒(G．Mittag－Leffler，1846—1927)给出部分分式的表示：
对于亚纯函数，皮卡大定理也成立．在经过许多人研究之后，芬兰数学家耐凡林那
(R．Nevanlinna，1895—1980)对于亚纯函数的值分布理论进行了统一的论述．他引进了特征函数T(r)及亏数等概念，证明了第一、第二定理，使值分布理论成为精致的定量理论． 1935年芬兰数学家阿尔福斯(L．V．Ahlfo－rs，1907—)用拓扑的方法建立了覆盖面理论，由它不仅可推出耐凡林那理论，而且还得出亚纯函数许多其他结果，由它还明确了例外值个数2的拓扑意义，它与球面
的欧拉示性数有关．其后的值分布理论是本着耐凡林那理论的模式向一般区域或黎曼面上推广．
幂级数及狄利克雷级数是应用最多的复变函数，从19世纪末有着多方面的研究．特别是一个幂级数的收敛圆周成为自然边界的条件，有各种各样的缺项定理．应用上最常用的是陶伯尔型定理．陶伯尔型定理是
奥地利数学家陶伯尔(A．Tauber，1866—1943)给出逆定理成立的条
李特尔伍德的陶伯尔型定理推广到可测函数，进而证明素数定理．在数
的研究，另外也有相应的陶伯尔型定理，在数论上有许多应用．
函数论一个重要方面是保角映射，其基本定理是黎曼映射定理(1851)．它指出单连通区域之间可通过解析函数进行保角映射．在区域D内定义的单值解析函数f(z)，如D内不同两点映到不同点，称为单叶函数．单叶函数理论是保角映射的重要组成部分，在单位圆内单叶函数族的理论开始于科贝(P．Koebe，1882—1945)单值化问题的研究．他于1909年得出畸变定理，畸变定理反映函数值的某种限界．德国数学家比勃巴赫(L．Bieberbach，1886—1982)在1916年推导定量结果时，得出单叶函数系统理论，同时证明单叶函数｜a2｜≤2，他猜想｜an｜≤n．几十年来，数学家对所猜想发表了上千篇论文，研究了各种方法，特别
方程，首先证明｜a3｜≤3．美国数学家席弗尔(M．Schiffer，1911—)在1938年引进变分方法，后得出｜a4｜≤4(1956)．到1972年才证明对a5，a6比勃巴赫猜想成立．出乎人们意料，美国数学家德、布兰吉斯(L．de Bianges，1932—)1984年一举完全证明比勃巴赫猜想，从而结束了这个问题近七十年的历史．
对于开黎曼面的分类，最初是分型问题，即区别是一圆盘还是复平面是开黎曼面的覆盖面．由
芬兰数学家阿尔福斯、梅尔堡(P．J．Myrberg，1892—1976)等人在三十年代初开始研究，后来进入一般开黎曼面的分类，这是从撒利奥(L．Sario，1916—)1946年的工作开始的．
函数论方面一个老问题是单值化问题，也就是象圆x2+y2=1这样的代数函数，能不能找到一个单值的参数表示(如x=cost，y=sint就是)．19世纪许多大数学家都对此做过贡献．一直到1907年，整个问题才由科贝和庞加莱独立地解决．像代数函数这样的多值函数，怎样表示为单值化的曲面上的单值函数的问题，早在19世纪中叶由黎曼得出富有想象力的黎曼面的观念．他的几何思想不仅推动几何函数论的发展，而且也预示着曲面拓扑学的萌芽．1913年，德国数学家外尔(H．Weyl，1885—
时代的著作，对黎曼面做了抽象的刻划，引进了复流形的概念．匈牙利数学家拉多(T．Rado，1895—1965)及罗马尼亚数学家斯托伊洛夫(S．Stoilow，1887—1961)有着基本的贡献．对于闭黎曼曲面的分类，归结为参模结构的研究．近年来，对于黎曼面的参模的结构进行了重要的研究，这方面的工具是1928年德国数学家格罗采(H．Grotzsch，1902—)引进的拟保角映射．保角映射把地图上一小圆映成一个小圆，保持两条线交角不变，而拟保角映射则可看成把一个小圆映成一个小椭圆．1939年德国数学家台什缪勒(O．Teichmiiller，1913—1943)应用极值保角映射观念研究黎曼面的模，他的文章极为晦涩后来发现思想倒是对头的．战后沿着这条路线取得了巨大进展．
二、调和分析
傅里叶级数原来是处理直线(－∞，＋∞)上，周期为2π且在[0，2π]上可积的数值函数(最好令其为复数值)，这样的函数f的傅里叶级数是
由于einx=cosnx+isinnx，因此可用sin和cos来表达傅里叶级数．这种实的形式在几何上更直观，复指数形式在代数上更容易处理和推广．主要问题是函数f的傅里叶级数的“和”是否存在，是否“等于”f．最初“和”与“等于”自然地理解为逐点收敛的，后来自然的和更富成果的是几乎处处收敛与依范数收敛．人们早就知道，存在连续函数的傅里叶级数，它在某一点上，甚至在许多点上发散．如果考虑齐撒罗意义下的求和，则费耶尔(L.Fejer，1880—1959)定理(1904)指出：在这种意义下每一连续函数f的傅里叶级数逐点收敛于f．但可积函数情况就差得多，柯尔莫哥洛夫证明若只要求f∈L1[0，2π](即f在[0，2π]上可积)，则f的傅里叶级数可以几乎处处发散(1923)，或甚至于处处发散(1926)．
