∴?ab?0,有Ua?Ub
c(2)同理， ?dc??dE旋?dl???0
∴ Ud?Uc?0即Uc?Ud
题10-15图
10-15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10-15图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数．
解： 设长直电流为I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为
?12??2a3a3?0Ia2πr?dr??0Ia2πln2
∴ M?12I??0a2πln2
10-16 一矩形线圈长为a=20cm，宽为b=10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一无限长导线的旁边且与线圈共面．求：题10-16图中(a)和(b)
解：(a)见题10-16图(a)，设长直电流为I，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为
?12??B?dS?(S)
???0Ia2π?2bbdr?0Ia?ln2 r2π∴ M??aN?12?N0ln2?2.8?10?6 H I2π(b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通?12?0，见题10-16图(b) ∴ M?0
题10-16图题10-17图
10-17 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路．设两导线内部的磁通
可忽略不计，证明：这样一对导线长度为lL?
?0ld?a
In． ?a
解： 如图10-17图所示，取dS?ldr 则 ???a?d?a(?0I2rπ??0I2π(d?r))ldr??0Il2π?d?aa?Il11d?ad(?)dr?0(ln?ln) rr?d2πad?a?0Ilπlnd?a a∴ L??I??0lπlnd?aa
10-18 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H．试求：它们之间的互感．
解： ∵顺串时 L?L1?L2?2M 反串联时L??L1?L2?2M
∴ L?L??4M
M?L?L??0.15H 410-19图
10-19 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N
(1)
(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少?
解：如题10-19图示 (1)通过横截面的磁通为
???b?0NIba2rπhdr??0NIh2πlna
磁链 2??N???0NIhb2πlna ∴ L??0N2hbI??2πlna (2)∵ W1m?2LI2 ∴ 2W?20NIhm?4πlnba 10-20 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I．求：导线内部单位长度上所储存的磁能． 解：在?r?R时 B?0Ir2πR2
2?0I2r2∴ wm?B2??24 08πR取 dV?2πrdr(∵导线长l?1)
则 W??R0wm2?rdr??R?20Ir3dr?20I04πR4?16π
习题十一
11-1 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介电常数为?的电介质.当两极板间的电压随时间的变化dUdt?k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为r处的位移电流密
度
2??lC?R2 解：圆柱形电容器电容 lnR1q?CU?2??lUR2 lnR1q2??lU?UD???RS2?rln2rlnR2 R1R1?Dj??∴ ?t?kR2
rlnR1dt11-2 试证：平行板电容器的位移电流可写成Id?CdU．式中C为电容器的电容，U是电容器两极板的电势差．如果不是平板电容器，以上关系还适用吗?解：∵ q?CU
D??0?CUS
∴ ?D?DS?CU
不是平板电容器时 D??0仍成立 ∴ ID?CdU还适用．
dtID?d?DdU?Cdtdt题11-3图
?11-3 如题11-3图所示，电荷+q以速度v向O点运动，+q到O点的距离为x，在O点处作半径为a的?圆平面，圆平面与v垂直．求：通过此圆的位移电流．
解：如题11-3图所示，当q离平面x时，通过圆平面的电位移通量
?D?q(1?2xx?a22)
［此结果见习题8-9(3)］
∴ ID?d?D?dtqa2v2(x2?a)322
题11-4图
-1
11-4 如题11-4图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度E=720sin105?tV·m，正方向规定如图．试求：
(1)电容器中的位移电流密度；
(2)电容器内距中心联线r=10m的一点P，当t=0和t=1?10?5s时磁场强度的大小及方向(不考虑传导
-2
2电流产生的磁场)． 解：(1) jD∴ jD??0?E??0??D,D??0E ?t?(720sin105?t)?720?105??0cos105?t A?m?2
?t?t???? (2)∵ ?H?dl??I0??jD?dS
l(S)取与极板平行且以中心连线为圆心，半径r的圆周l?2?r，则
H2?r??r2jD
H?rjD 2t?0时HP?t?1?10?5s2r?720?105??0?3.6?105??0A?m?1 2?0
时，HP11-5 半径为R=0.10m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中．今对电容器匀速充电，使两极板间电场的变化率为dE=1.0×10 V·m·s．求两极板间的位移电流，并计算电容器内离两圆
13
-1
-1
dt板中心联线r(r＜R)处的磁感应强度Br以及r=R处的磁感应强度BR． 解: (1) jD??D??0?E
?t?tID?jDS?jD?R2?2.8A
????(2)∵ ?H?dl??I0??jD?dS
lS取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周l?2?r，则
H2?r?jD?r2??0dE2?r dt∴ H?r?0dE
2dt??rdEBr??0H?00
2dt当r?R时，BR??0?0RdE?5.6?10?6 T
2dt*11-6 一导线，截面半径为10m，单位长度的电阻为3×10Ω·m，载有电流25.1 A．试计算在距导线表面很近一点的以下各量： (1)H的大小；
(2)E在平行于导线方向上的分量； (3)垂直于导线表面的S分量．
解: (1)∵ ?Hdl??I
??-2-3-1
