专题七 平面解析几何
xy3a1.设F1、F2是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1
ab2
是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
12A. B. 2334C. D. 45x2y2
2.已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点
ab到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
8316322
A．x＝y B．x＝y
3322
C．x＝8y D．x＝16y
3.直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( ) A．25 B．23 C.3 D．1 4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
2
2
A．3 B．2 C.3 D.2
5.已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为( )
A．1 B．3 C．－4 D．－8
x2y2
6.椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，
ab|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )
15A. B. 451C. D.5－2 2
7.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
8.过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．
x2y22??5a9.已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)，点P?，a?在椭圆上．
ab2??5
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
1
(Ⅱ)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．
10.(20122高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于
1
地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－2(1
20
22
＋k)x(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
x2y2
11.如图，F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，
abB是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率；
(Ⅱ)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．
2
12.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
4
(Ⅰ)求椭圆C2的方程；
→→
(Ⅱ)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程．
13.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.
(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
22
(3)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x＋y＝1相切，求证：OP⊥OQ.
14.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
x2
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；
(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．
3
专题七 平面解析几何
3a（－c）2
1.C 由题意可知∠PF2x＝60°，|PF2|＝＝3a－2c，由
cos60°3
|PF2|＝|F1F2|，得3a－2c＝2c，∴e＝，故选C.
4
?2.D ，可得p＝8，故选D. ?a2p2
?a＋b＝2
2
2
c＝2a|0＋0－2|
3.B 圆心到直线的距离d＝＝1，
2
∴|AB|＝2r－d＝24－1＝23.
4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a1，2a2，则易得a1＝2a2，又∵焦距相等， ∴e2∶e1＝2.
5.C PA方程为：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8， 同理QA为：y＝－2x－2， 解得x＝1，∴y＝－4. 6.[
2
2
B 如图|AF1|＝a－c，
|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，
222
∴4c＝a－c，
c5∴e＝＝.
a54
7. 根据题意，x2＋y2－8x＋15＝0，将此化成标准形式为(x－4)2＋y2＝1，得到该圆的3
圆心为M(4，0)，半径为1，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M(4，0)到直线y＝kx－2的距离d≤1＋1＝2即可，所
|4k－2|44
以有d：2≤2，化简得k(3k－4)≤0，解得0≤k≤，所以k的最大值为. 33k＋1
8.
(2，2) 设P(x0，y0)如图
|PO|＝2.
22
?x0＋y0＝4∴?. ?x0＋y0－22＝022
则x0＋(x0－22)＝4，
4
