【解答】探究：
证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB， ∴DC=DB．
应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°， ∴∠B=∠FCD， 在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB， ∴DF=DE，CF=BE，
在RT△ADF和RT△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE， ∴AF=AE，
∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE，
在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a， ∴BE=
a，
a． a．
∴AB﹣AC=故答案为
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾 股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
12. （2020,湖北宜昌，18，7分）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【考点】全等三角形的应用；平行线之间的距离．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得
△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°， ∴∠ABO=90°，即OB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD=AB=20（m）
【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
13. （2020·广东梅州）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F 分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1 时，求AE的长．
考点：平行四边形的性质，三角形例行的判定，两直线平行的性质。 解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB， ………………………1分 ∴∠OBE =∠ODF． ………………………2分 在△OBE与△ODF中，
??OBE??ODF ∵ ???BOE??DOF
?BE?DF? ∴△OBE≌△ODF（AAS）．………………………3分 ∴BO=DO． ………………………4分 （2）解：∵EF⊥AB，AB ∥DC， ∴∠GEA=∠GFD=90°． ∵∠A=45°， ∴∠G=∠A=45°． …………………5分 ∴AE=GE ……………6分 ∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°． ∴∠GOD=∠G=45°． ……………7分 ∴DG=DO
∴OF=FG= 1 ……………8分 由（1）可知，OE= OF=1 ∴GE=OE+OF+FG=3
∴AE=3 ……………9分 (本题有多种解法，请参照此评分标准给分.)
14. （2020年浙江省温州市）如图，E是?ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
AB∥CD，【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF， ∵E是?ABCD的边CD的中点， ∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）解：∵ADE≌△FCE， ∴AE=EF=3， ∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAF=90°， 在?ABCD中，AD=BC=5， ∴DE=
=
=4，
∴CD=2DE=8． 15．（2020.山东省泰安市）（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图①）．求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由； （3）若将（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）
