∠AB'E＝∠ABE＝90°
又BC＝3BE，有EC＝2BE，所以，EC＝2B'E，所以，∠ACE＝30°，∠BAC＝60°， 又由折叠知：∠B'AE＝∠BAE＝30°，所以，∠EAC＝∠ECA＝30°， 所以，EA＝EC，又∠AB'E＝90°，由等腰三角形性质，知B'为AC中点， 所以，AB＝AB'＝
三、解答题
1．（2020·黑龙江大庆）如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E． （1）求证：AG=CG． （2）求证：AG2=GE?GF．
1AC?3 2
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质． 【专题】证明题．
【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB， ∴∠F∠FCD， 在△ADG与△CDG中，∴△ADG≌△CDG， ∴∠EAG=∠DCG， ∴AG=CG；
（2）∵△ADG≌△CDG，
，
∴∠EAG=∠F， ∵∠AGE=∠AGE， ∴△AEG∽△FGA， ∴
2
，
∴AG=GE?GF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．
2. （2020·湖北黄冈）（满分7分）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H. 求证：AG=CH
A E D G
H
B F C
（第17题）
【考点】平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质.
【分析】要证明边相等，考虑运用三角形全等来证明。根据E，F分别是AD，BC的中点，得出AE=DE=AD，CF=BF=BC；运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形BEDF是平行四边形，从而得到∠BED=∠DFB，再运用等角的补角相等得到∠AEG=∠DFC；最后运用ASA证明△AGE≌△CHF，从而证得AG=CH. 【解答】证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=DE=AD，CF=BF=BC. ………………………………….1分 又∵AD∥BC，且AD=BC. ∴ DE∥BF，且DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形. ∴∠BED=∠DFB.
∴∠AEG=∠DFC. ………………………………………………5分 又∵AD∥BC， ∴∠EAG=∠FCH. 在△AGE和△CHF中
∠AEG=∠DFC AE=CF
∠EAG=∠FCH ∴△AGE≌△CHF. ∴AG=CH
3．（2020·湖北十堰）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠B=∠FED， 在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF， ∴AF=DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．
4. （2020·湖北咸宁）（本题满分7分）证明命题“角的一部分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程. 下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上.
_____________________________________.
求证：______________________. 请你补全已知和求证，并写出证明过程.
【考点】全等三角形的判定和性质，命题的证明．
【分析】先补全已知和求证，再通过AAS证明△PDO≌△PDO全等即可.
【解答】解：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. ……………………….2分 PD=PE. ………………………………………………………….3分 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°…………………………...4分 在△PDO和△PDO中， ∠PDO=∠PEO
∠AOC=∠BOC， OP=OP ∴△PDO≌△PDO（AAS）……….…………….6分
∴PD=PE. …………………………………………………7分
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，命题的证明．补全已知和求证并运用AAS证明三角形全等是解题的关键.
5. (2020·云南)如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论．
【解答】证明：∵点C是AE的中点， ∴AC=CE，
在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE， ∴∠B=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．
，
