由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v0 为
v0?m1v?1.0m?s?1
m1?m2又因初始位移x0 ＝0，则振动系统的振幅为
A?2x0??v0/ω??v0/ω?2.5?10?2m
2图（b）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位
?0?π/2，则简谐运动方程为
x?2.5?10?2cos?40t?0.5π??m?
5-19 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为x1?0.05cos?10t?0.75π??m?；
x2?0.06cos?10t?0.25π??m?．求：（1） 合振动的振幅及初相；（2） 若有另一同方向、同频率
的简谐运动x3?0.07cos?10t??3??m?，则?3为多少时，x1 ＋x3 的振幅最大？ 又?3 为多少时，
x2 ＋x3 的振幅最小？
题5-19 图
分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动 的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅与两个分振动的初相差?2A?2A12?A2?2A1A2cos??2??1?，其大小
??1相关．而合振动的初相位
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2??
解 （1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为Δ?振幅为
??2??1??π/2，故合振动
A?合振动初相位
2A12?A2?2A1A2cos??2??1??7.8?10?2m
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2???arctan11?1.48rad（2） 要使x1 ＋x3 振幅最大，即两振动同相，则由Δ?
?2kπ得
?3??1?2kπ?2kπ?0.75π,k?0,?1,?2,...
要使x1 ＋x3 的振幅最小，即两振动反相，则由Δ???2k?1?π得
?3??2??2k?1?π?2kπ?1.25π,k?0,?1,?2,...
5-20 两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图（a）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x1 和x2；（2） 在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3） 若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．
分析 振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期，因此只要利用图中所给初始条件，由旋转矢量法或解析法求出初相位，便可得两个简谐运动的方程．
解 （1） 由振动曲线可知，A ＝0.1 ｍ，T ＝2ｓ，则ω＝2π／T ＝πｓ-1 ．曲线1表示质点初始时刻在x ＝0 处且向x 轴正向运动，因此φ1 ＝－π／2；曲线2 表示质点初始时刻在x ＝A /2 处且向x 轴负向运动，因此φ2 ＝π／3．它们的旋转矢量图如图（b）所示．则两振动的运动方程分别为
x1?0.1cos?πt?π/2??m?
和
x2?0.1co?sπt?π/3??m?
（2） 由图（b）可知振动2超前振动1 的相位为5π／6． （3）x?x1?x2?A?cos??t???
其中
A??2A12?A2?2A1A2cos??2??1??0.052m
??arctan则合振动的运动方程为
A1sin?1?A2sin?2π?arctan??0.268???
A1cos?1?A2cos?212??2x?0.052co?πst?π/1m?
题5-20 图
第六章
6-5 一横波在沿绳子传播时的波动方程为
y?0.20cos?2.5πt?πx?，式中y的单位为m，t的单位
为s．（1） 求波的振幅、波速、频率及波长；（2） 求绳上质点振动时的最大速度；（3） 分别画出t ＝1s 和t ＝2 s时的波形，并指出波峰和波谷．画出x ＝1.0 ｍ处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同．
分析 （1） 已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速u、频率?、振幅A 及波长λ等），通常采用比较法．将已知的波动方程按波动方程的一般形式
???x?y?Acos???t????0?书写，然后通
??u??过比较确定各特征量（式中
x前“-”、“+”的选取分别对应波沿x 轴正向和负向传播）．比较法思路清晰、u求解简便，是一种常用的解题方法．（2） 讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别．例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即v ＝dy/dt；而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度），其大小由介质
的性质决定．介质不变，波速保持恒定．（3） 将不同时刻的t 值代入已知波动方程，便可以得到不同时刻的波形方程y ＝y（x），从而作出波形图．而将确定的x 值代入波动方程，便可以得到该位置处质点的运动方程y ＝y（t），从而作出振动图．
解 （1） 将已知波动方程表示为
y?0.20cos?2.5π?t?x/2.5???m?
与一般表达式
y?Acos???t?x/u???0?比较，可得
A?0.20m,u?2.5m?s?1,?0?0
则
v?ω/2π?1.25Hz,λ?u/v?2.0m
（2） 绳上质点的振动速度
v?dy/dt??0.5πsin?2.5π?t?x/2.5??m?s?1则
??
vmax?1.57m?s?1
（3） t ＝1ｓ 和t ＝2ｓ 时的波形方程分别为
y1?0.20cos?2.5π?πx??m?y2?0.20cos?5π?πx?波形图如图（a）所示． x ＝1.0m 处质点的运动方程为
?m?
y??0.20cos?2.5πt??m?
振动图线如图（b）所示．
波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别．波形图表示某确定时刻波线上所有质点的位
移情况，而振动图则表示某确定位置的一个质点，其位移随时间变化的情况．
题6-5 图
6-8 图示为平面简谐波在t＝0 时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时图中质点P 的运动方向向上．求：（1） 该波的波动方程；（2） 在距原点O 为7.5 m 处质点的运动方程与t ＝0 时该点的振动速度．
题6-8 图
分析 （1） 从波形曲线图获取波的特征量，从而写出波动方程是建立波动方程的又一途径．具体步骤为：1. 从波形图得出波长λ、振幅A 和波速u ＝λ?；2. 根据点P 的运动趋势来判断波的传播方向，从而可确定原点处质点的运动趋向，并利用旋转矢量法确定其初相φ0 ．（2） 在波动方程确定后，即可得到波线上距原点O 为x 处的运动方程y ＝y（t），及该质点的振动速度?＝dy/dt．
解 （1） 从图中得知，波的振幅A＝0.10 m，波长λ＝20.0m，则波速u ＝λ?＝5.0 ×103 ｍ·ｓ-1 ．根据t ＝0 时点P 向上运动，可知波沿Ox 轴负向传播，并判定此时位于原点处的质点将沿Oy 轴负方向运动．利用旋转矢量法可得其初相φ0 ＝π/3．故波动方程为
y?Acos???t?x/u???0??0.10cos?500π?t?x/5000??π/3?（2） 距原点O 为x ＝7.5ｍ 处质点的运动方程为
?m?
y?0.10cos?500πt?13π/12?t ＝0 时该点的振动速度为
?m?
v??dy/dt?t?0??50πsin13π/12?40.6m?s-1
