【解答】解：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=﹣， ∴sin∠ADC=∠ACD=∠CAB=
， ．
△ACD中，由正弦定理可得=，即=，∴AC=8．
（2）若BD=9，∵∠DAB=π﹣∠ADC， ∴cos∠DAB=﹣cos∠ADC=， ∴sin∠DAB=
=
．
△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2﹣2AD?AB?cos∠DAB， 即 81=36+AB2﹣2?6?AB?，∴AB=9， ∴△ABD的面积为?AD?AB?sin∠DAB=?6?9?
=18
．
17．如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=CD，∠ADC=45°．
（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；
（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣A1C1﹣D的平面角的余弦值为
，求λ的值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）连结A1C，交AC1于点E，推导出AA1⊥AC，A1C⊥AC1，由余弦定理，得AC=CD，再由勾股定理得CD⊥AC，又AA1⊥CD，从而CD⊥平面A1ACC1，进而AC1⊥CD，由此能证明AC1⊥平面A1B1CD．
（Ⅱ）以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值． 【解答】证明：（1）连结A1C，交AC1于点E， ∵AA1=AC，AA1⊥平面ABC， ∴AA1⊥AC，又AA1∥CC1，
∴AA1C1C为正方形，∴A1C⊥AC1，
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在△ACD中，AD=，∠ADC=45°，
=CD2，
由余弦定理，得AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos45°=2CD2+CD2﹣2
∴AC=CD，
∴AD2=AC2+CD2，∴CD⊥AC， 又AA1⊥CD，AA1∩AC=A， ∴CD⊥平面A1ACC1，
∵AC1?平面A1ACC1，∴AC1⊥CD， ∴AC1⊥平面A1B1CD． 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ACC1，CC1⊥平面ABC，
以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ）， ∴
=（﹣2，0，2λ），
=（﹣2，2，2λ），
设平面A1C1D的法向量为=（x，y，z）， 则
令z=1，解得=（λ，0，1）， 由（1）知
⊥平面A1ACC1，∴
是平面A1ACC1的一个法向量，
，
∴二面角A﹣A1C1﹣D的平面角的余弦值为： cosθ=
解得λ=2． ∴λ的值为2．
=
=
．
18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=6，S5=45；数列{bn}前n项和为Tn，且Tn﹣2bn+3=0．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn=
，求数列{cn}的前n项和Qn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
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【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a2=6，S5=45；利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得
，解得a1=d即可得出．由Tn﹣2bn+3=0．
n=1时，b1﹣2b1+3=0，解得b1．n≥2时，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，可得：bn=2bn﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出． （2）由cn=
，可得cn=
．对n分类讨论，分组求和，
分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a2=6，S5=45； ∴
，解得a1=d=3．
∴an=3+3（n﹣1）=3n． ∵Tn﹣2bn+3=0．
∴n=1时，b1﹣2b1+3=0，解得b1=3．
n≥2时，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，可得：bn﹣2bn+2bn﹣1=0，化为bn=2bn﹣1， ∴数列{bn}是等比数列，首项为3，公比为2． ∴bn=3×2n﹣1． （2）∵cn=
，∴cn=
．
∴n=2k（k∈N*）为偶数时，数列{cn}的前n项和Qn=（a1+a3+…+an﹣1）+（a2+a4+…+an）=
+
=2n﹣1+
+n．
n=2k﹣1（k∈N*）为奇数时，数列{cn}的前n项和Qn=Qn+1﹣an+1=2n+1﹣1+
﹣3（n+1）=2n+1+
．
∴Qn=
．
19．某高中为适应“新高考模式改革”，满足不同层次学生的需要，决定从高一年级开始，在每周的周二、周四、周五的课外活动期间同时开设物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规格：各科达到预定的人数时称为满座，否则称为不满座），统计数据表明，以上各学科讲座各天满座的概率如表： 物理 化学 生物 信息技术 第11页（共16页）
周二 周四 周五 （1）求一周内物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率；
（2）设周四各辅导讲座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）设物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座为事件A，由题意得利用对立事件概率计算公式能求出物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和EX． 【解答】解：（Ⅰ）设物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座为事件A， 由题意得：
物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率： P（A）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4， P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=P（X=4）=
=
，
=
，
++×
=
， =
，
=，
．
∴随机变量X的分布列为： X 0 1 P ∴EX=
20．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣lnx．
2 =．
3 4 （1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围； （3）求证：
+
+…+
＞ln（n+1）（n∈N?）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
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