数学试卷
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 专题： 数形结合． 分析： （1）将A点纵坐标代入y=x+2，求出A点横坐标，再将A点坐标代入y=，求出k的值即可； （2）将△AOB的面积转化为S△DOB和S△AOD，再分别计算即可． 解答： 解：（1）∵A点的纵坐标为4， ∴x+2=4，x=2，A（2，4）． 将A（2，4）代入y=得，k=xy=2×4=8， 函数解析式为y=． 将y=x+2与y=组成方程组得， 解得，，， 故A（2，4），B（﹣4，﹣2）． （2）∵y=x+2与y轴交于（0，2）点， ∴D（0，2）． S△AOB=S△DOB+S△AOD=×2×4+×2×2=4+2=6． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将两函数解析式组成方程组是解题的关键． 20．（5分）（2019?朝阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若cosD=，BC=8，求AB的长．
数学试卷
考点： 切线的判定． 专题： 计算题． 分析： （1）由同弧所对的圆周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由已知∠ODB=∠AEC，等量代换得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余，等量代换得到∠OBD为直角，即可得到BD是圆O的切线； （2）由OE垂直于BC，利用垂径定理得到BF为BC的一半，求出BF的长，由∠ODB=∠ABC，得到cosD=cos∠ABC，在直角三角形OBF中，由已知cosD的值及BF的长，利用锐角三角函数定义求出OB的长，即可求出AB的长． 解答： （1）证明：∵∠AEC与∠ABC都对， ∴∠AEC=∠ABC， ∵∠ODB=∠AEC， ∴∠ABC=∠ODB， 在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， 则BD是圆O的切线； （2）解：∵OE⊥BC， ∴BF=CF=BC=4， ∵∠ODB=∠ABC， ∴cosD=cos∠ABC=， 在Rt△OBF中，cos∠ABC=∴OB==5， ， 则AB=20B=10． 点评： 此题考查了切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 数学试卷
21．（6分）（2019?朝阳区一模）如图，抛物线y=﹣x+c与x轴分别交于点A、B，直线y=﹣x+过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=﹣x+c相交于点C． （1）求抛物线y=﹣x+c的解析式；
（2）直接写出点C的坐标；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？
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考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）求出点B的坐标，代入抛物线解析式可求出c的值，继而得出抛物线的解析式； （2）联立抛物线与直线解析式可求出交点坐标； （3）求出sin∠EBO，过点N作NF⊥x轴于点F，继而可表示出NF，根据S△MNB=BM×NF，可求出S与t的函数关系式，利用配方法可求出最大值． 解答： 解：（1）∵直线y=﹣x+过点B， ∴点B的坐标为（2，0）， 将点B的坐标代入抛物线解析式可得：0=﹣×2+c， 解得：c=3； 2（2）联立抛物线及直线解析式可得：， 解得：或， 故点C的坐标为（﹣1，）． （3）由直线解析式可得点E坐标为（0，）， 数学试卷
在Rt△BOE中，BE=则sin∠EBO==， =， 过点N作NF⊥x轴于点F， 设点M的运动时间为t秒，则AM=t，BN=2t， 则BM=4﹣t，NF=BN×sin∠EBO=t， S△MNB=BM×NF=（4﹣t）×t=﹣t+故当t=2时，S取得最大，最大值为综上可得：S=﹣t+22t=﹣（t﹣2）+2（0＜t＜4）， ． ． t，当点M运动2秒时，△MNB的面积最大，最大面积是 点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式及抛物线与一次函数的交点问题，本题的难点在第三问，需要同学们利用三角函数的知识表述出△MNB的高，这类题目一般以压轴题出现，同学们应注意培养自己解答综合题的能力． 22．（7分）（2019?朝阳区一模）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F． （1）如图1，求证：ME=MF；
（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；
（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB= 2 ．
考点： 四边形综合题．
