考点16 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换
一、选择题
2?2??)?（ ） ，则cos(341112A. B. C. D. 6323??1. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6）已知sin2【解题指南】利用“降幂公式”将cos(??2?4)化简，建立与sin2?的关系，可得结果.
【解析】选A.因为cos2(???41?cos2(??)?1?2?)1?cos(2??)?4?2?1?sin2，
22?所以cos2(???4)?1?sin2??223?1，选A. 26?3，则cosa=（ ） ?232.（2013·江西高考文科·Ｔ3）若sinA.?1122 B.? C. D.
3333?21=1?=. 233【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可. 【解析】选C.cos??1?2sin23（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数f?x?=cosxsin2x, 下列结论中错误的是（ ）
A．y?f?x?的图像关于??,0?中心对称 B.y?f?x?的图像关于x?C.f?x?的最大值为?2对称
3 2D.f?x?既是奇函数，又是周期函数
23【解析】选C.f(x)?cosxsin2x?2cosxsinx?2sinx?2sinx，令t?sinx，?1?t?1，则
g(t)?2t?2t3，g?(t)?2?6t2.令g?(t)?2?6t2?0，解得t??33或t?.比较两个极值点和33两个端点g(?1)?0，g(1)?0，g(?433343)?0，g()?，f(x)的最大值为，故C错误 3399??4. （2013·重庆高考理科·Ｔ9）4cos50?tan40? ( )
1
A.
2 B. 2?3 C. 3 D. 22?1 2【解题指南】先切化弦,然后通分化简求解即可.
sin40?4cos50?cos40??sin40??【解析】选C. 4cos50?tan40?4cos50?
cos40?cos40????4sin40?cos40??sin40?2sin80??sin40?2cos10??sin(10??30?)??? ???cos40cos40cos40?3?1??3133??????3cos10?sin102cos10?sin10?cos10cos10?sin10?2?2?? 2222???cos40?cos40?cos40??3cos40???3. ?cos405. （2013·辽宁高考文科·Ｔ6）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ6）相同 在?ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC?csinBcosA?（ ）
1b,且a?b,则?B?2A.?6B.?3C.2?3D.5? 6【解题指南】利用正弦定理，将边化为角，借助式子的特点，利用和角公式与相关的诱导公式解决问题
abc???k，则a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC将.sinAsinBsinC111b整理得,sinAcosC?cosAsinC?即,sin(A?C)?,又它们代入asinBcosC?csinBcosA?2221sin(A?C)?sin(??B)?sinB,所以sinB?
2【解析】选A. 据正弦定理，设
因为a?b,所以?B必为锐角，所以?B?二、填空题
6.（2013·四川高考文科·Ｔ14）和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同 设sin2???sin?，??(?6.
?2?的值是____________。 ,?)，则tan2【解题指南】本题考查的是简单的三角恒等变换，在解题时要注意公式的灵活运用，特别是二倍角公式与同角关系公式.
???sin?，可得2sin?cos???sin?，可得cos???【解析】根据题意sin2
1，tan???3，22
所以tan2??2tan??23??3 21?tan??2【答案】
3 12,sin2x?sin2y?，则237.（2013·上海高考理科·T11）若cosxcosy?sinxsiny? sin(x?y)?________【解析】cos(x?y)?122，sin2x?sin2y?2sin(x?y)cos(x?y)?，故sin(x?y)?． 233【答案】
2 31，则cos(2x-2y)= . 38.（2013·上海高考文科·T9）若cosxcosy+sinxsiny=【解析】 cosxcosy?sinxsiny?cos(x?y)?【答案】 ?17?cos2(x?y)?2cos2(x?y)?1?? 397 99.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T15)设θ为第二象限角,若tan???= .
【解题指南】利用两角和的正切公式将tan???????1，则sinθ+cosθ??4?2?????展开化简,通过切化弦,得到目标式sinθ+cos4?θ,然后利用三角函数的性质,求得sinθ+cosθ的值. 【解析】因为θ为第二象限角,tan???????1?=2>0,所以角θ的终边落在直线y=-x的左侧,sinθ+cos4?θ<0由tan???????14?2?=
,得
tan??11sin??cos?1?,即?,,所以设sinθ+cosθ=x,则cosθ-sin
1?tan?2cos??sin?22
θ=2x,将这两个式子平方相加得:x=
210,即sinθ+cosθ=?. 55【答案】?三、解答题
10 510. （2013·辽宁高考文科·Ｔ17）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ17）相同 设向量a?(3sinx,sinx),b?(cosx,sinx),x??0,
???. ?2??3
(?)若a?b,求x的值；
(??)设函数f(x)?a?b，求f(x)的最大值。
【解题指南】利用向量的坐标运算，将模和数量积问题转化为三角函数问题求解 【解析】(?)由a?(3sinx,sinx),b?(cosx,sinx),得
a?(3sinx)?(sinx)?4sinx，b?(cosx)2?(sinx)2?1.
又因为a?b,所以4sinx?1.又x??0,2222221????sinx?,x?. 所以,?26?2?(??)函数f(x)?a?b?(3sinx,sinx?)(cosx,sinx?)3sinxcosx?2sinx
?31?cos2x311?2sinxcosx??sin2x?cos2x? 22222?cos?6sin2x?sin?6cos2x????1?sin2xcos?cos2xsin?sin(2x?)
6662因为x??0,??5?1??13?????2x????sin(2x?)?10?sin(2x?)?? 所以，故，,?666266222??3. 2即f(x)的最大值为
11. （2013·四川高考理科·Ｔ17） 在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且
2cos2A?BcosB?sin(A?B)sinB?23cos(A?C?)?．
5（1）求cosA的值；
（2）若a?42，b?5，求向量BA在BC方向上的投影． 【解题指南】本题解题的突破口在于已知条件
2cos2A?B3cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?C)??的化简，以及隐含条件在三角形中内角和为25?，第（2）问要注意正弦定理与余弦定理的应用.
【解析】(1)由2cos
2
A?B3
cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)= ?， 25
3
得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=?. 53
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=?. 533
则cos(A-B+B)= ?，即cosA=?. 55
43
(2)由cosA=?，0 55 4
