10根细管，自来水厂到I村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．因为粗管是细管价格的4倍，如果用细管代替粗管重叠数超过4条费用更大，仅在3条或3条以下才会节约，而细管只能供应一村用水，所以粗管从水厂一直接到G村为止，再用三条细管连接H、I、J三个村，这样费用最低，总费用：8000?（30?5?2?4?2?3?2）?2000?（2?3?2?2?5）?414000 (元)．
【例 18】 (奥数网习题库)有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村
自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所
有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
30县城A1524232225A10A2A3A4A5A6A7AA89
【解析】 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从县城到A1村要铺设10
根细管，A1村到A2村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．
因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱．这样一来，凡是超过3根细管的路段，都应改铺粗管． 因此，从县城到A7村铺1根粗管，A7村到A8村铺3根细管，A8村到A9村铺2根细管，A9村到A10
7000?（30?5?2?4?2?3?2）?2000?（2?3?2?2?5?1）?36600(元)．村铺1根细管．总费用为：
【例 19】 北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费
如右表，如何调运能使总运费最省？
运费/元到站发站北京洛阳杭州800700西安1000600
【解析】 方法一：由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，
而洛阳正相反，到西安的运费比到杭州便宜．所以，北京的机器应尽量运往杭州，洛阳
的机器应尽量运往西安．最佳的调运方案为：北京发往杭州7台，发往西安4台，洛阳发往西安5台．总运费为800?7?1000?4?600?5?12600(元)．
方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运杭州x台，调运西安 (11?x)台，则
（11?x）?x?2(台)， 洛阳应调运杭州(7?x)台，调运西安9?（11?x）?700（7?x）?600（x?2）?800x?11000?1000x?4900 总运费W?800x?1000?700x?600x?1200?14700?300x，因为要使总运费14700?300x最小，需要300x最大．
由于x是北京调运杭州的台数，且x≤7，
所以当x?7时，总运费W?14700?300?7?12600(元)最小．由x?7可知，北京调运杭州7台，调运西安4台，洛阳调运杭州0台，调运西安5台．
【巩固】 北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每台机器的运
费如右表，如何调运能使总运费最省？
运费/元到站发站北京上海武汉500700西安6001000
【解析】 与例题不同的是，北京、上海到西安的运费都比到武汉的高，没有出现一高一低的情况．此时，
可以通过比较运输中的差价大小来决定最佳方案． ⑴ 上表中第一行的差价为600?500?100(元)，第二行的差价为1000?700?300(元)．说明从北
8-4.统筹规划.题库 教师版 page 9 of 14 京给西安多发1台机器要多付运费100元，而从上海给西安多发1台机器要多付运费300元．所以应尽量把北京的产品运往西安，而西安只要5台，于是可知北京调往西安5台，其余5台调往武汉，上海6台全部调往武汉，总运费为：600?5?500?5?700?6?9700(元)． ⑵ 如果改为看表中的列，那么由于第一列的差价为700?500?200(元)，第二列差价为
1000?600?400(元)，所以武汉需要的机器应尽量从上海调运，而上海只有6台，不足的部
分由北京调运．这个结论同前面得到的相同．
【例 20】 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，上海可
以支持外地4台．现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制
造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？
运费/元到站发站北京上海汉口43重庆85
【解析】 方法一：本题中虽然上海到汉口的运费最少，只有3百元，但是上海到汉口比北京到汉口只节省
(4?3?)1百元，相比之下，上海到重庆比北京到重庆要节省(8?5?)3百元．所以重
庆所需台数应由上海尽量满足，即上海的4台全部调运重庆，北京再补给重庆4台，汉口的6台从北京调运．总运费为：5?4?8?4?4?6?76(百元)
方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运汉口x台，调运重庆(10?x)台，则
（6?x）?x?2(台)，总运费W?4x?（810?x） 上海应调运汉口(6?x)台，调运重庆4??（36?x）?（5x?2）?4x?80?8x?18?3x?5x?10?88?2x，因为要使总运费88?2x最小，需要2x最大．由于x是北京调运汉口的台数，且x?6，所以当x?6时，总运费W?88?2?6?76(百元)最小．由x?6可知，北京调运汉口6台，调运重庆4台，上海调运汉口0台，调运重庆4台．
【例 21】 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去．其中甲工厂需
要28吨，乙工厂需要12吨，丙工厂需要20吨．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里)．已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多
少元？
北仓库10甲86乙5南仓库1612丙
【解析】 通过分析将题目给的图形先转化为下图⑴，我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案．观察上
表各列两数之差，最大的是第三列16?12?4，因此北仓库的货物尽可能的供应丙工厂，即北仓
库供应丙20吨．在剩下的两列中，第一列的差大于第二列的差，所以南仓库的货物尽可能的供应甲工厂，即南仓库供应甲25吨．因为南仓库货物分配完，其余的甲需要的28?25?3(吨)由北仓库供应，即北仓库供给丙后剩下的15吨货物3吨给甲15?3?12(吨)给乙，相应的运费为：3?10?12?6?20?12?25?8?542(元)．
运费/元到站发站北仓库南仓库甲108乙65丙1216运费/元到站发站北仓库35吨南仓库25吨甲325乙12丙20
8-4.统筹规划.题库 教师版 page 10 of 14 ⑴ ⑵
【例 22】 A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50
吨大米．从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费
最少？
运费/元到站发站AB甲030乙400丙3020运费/元到站发站AB甲23乙710丙35
【解析】 A，B粮店共有大米 70?60?130(吨)，甲、乙、丙三个居民点需要大米30?40?50?120(吨)，
供应量与需求量不相等，但是我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案．观察上表各列两数之差，最大的是第二列10?7?3，因此A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨．在
剩下的两列中，第三列的差大于第一列的差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙．因为A粮店的的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨，调运方案如右表，相应的运费为：30?3?40?7?30?3?20?5?560(元)．
【例 23】 一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，
如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）
【解析】 在人员调运时不考虑路程远近的因素，就只需避免两个基地之间相互调整，即“避免对流现象”。
五个基地人员总数为17+4+16+14+9=60（人）
依题意，调整后每个基地应各有60÷5=12（人）。
因此，需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人.为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：先从D调2人到E，这样E尚缺1人；再由A调1人给E，则E达到要求.此时，A尚多余4人，C也多余4人，总共8人全部调到B，则B亦符合要求。 调动示意图如右图所示.这样的图形叫做物资流向图.用流向 图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象，
又可避免列表和计算的麻烦，图中箭头表示流向，箭杆上的数字表示流量。
【例 24】 下图是一个交通示意图，A、B、C是产地(用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨)，D、
E、F是销地(用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨)，线段旁边有括号的数字表示两地
每吨货物的运价，单位：百元(例如B与D两地，由B到D或由由D到B每吨货物运价100元)．将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？
E5(6)(4)C6(4)8(3)5FA(3)D(1)9B5第3题B地的5吨货物，必然要运往D，这个时候D还差9?5?4 【解析】 为了运价最小，图中可以直接看出
(吨)．一定需要从A运4吨．之后A剩下8?4?4吨．之后分两种情况．如果A的4吨全部运往
F，之后把C中的1吨运往F，5吨运往E．总共需要运费为
8-4.统筹规划.题库 教师版 page 11 of 14 (元)；如果A的4吨全部运往E，之后C中的1
吨运往E，5吨运往F，总共需要运费为5?1?4?3?4?4?1?6?5?4?59(百元)?5900(元)．
E4A45?1?4?3?4?3?1?4?5?6?63(百元)?6300D5B1FC5图1
板块四、其他最优化问题
【例 25】 用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原
材料几根？怎么截法最合算？ 【解析】 分析 不难想到有三种截法省料：
截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料；
截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺；
截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺。 由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1.考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根.于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料2×25＝50（尺）。
【例 26】 山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈运送货物。货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物．各车间由于工作 量不同，所需装卸工人
数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸 工固定在车间，另一部分跟车．问怎样安排跟车人数和各车间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？
【解析】 如跟车人数为57，则各车间都不用安排人，但这样在需要人数少的车间，浪费人力,不行；为此
找出各车间人数的平均数，后再调整。各车间人数的平均数为. 43.9.若跟车人数为43，则需人数多于43的车间需增加的人数分别为14，7，5，3，9，此时共需人数43×4+14+7+5+3+9=210。
若 跟车人数为46，由于需人数多于46的有四个车间，货车上增多的人数与四个车间减少的人数一样。故跟车人数为46人，需人数多于46的四个车间人数各增加 所差数即可 46×4+4+2+6+11=207（人）．
【例 27】 现有5段铁链，每段上有4个封闭的铁环．现在要打开一些铁环，把这20个铁环焊接成一个一
环套一环的圆圈．如果每打开一个铁环要2分钟，焊接上一个铁环要3分钟．那么焊成这个圆圈，至少需要________分钟．
8-4.统筹规划.题库 教师版 page 12 of 14
