当x?(?3,3)时，f'(x)?0，f(x)单调递增； 当x?(3,??)时，f'(x)?0，f(x)单调递减； 又因为f(?3)?4arctan(?3)?(?3)?4??3?0. 3?x??3是函数f(x)在(??,3)上唯一的零点.
又因为f(3)?4arctan3?3?4?8??3??23?0 33且limf?x??lim?4arctanx?x?x???x?????4???3????. 3??由零点定理可知，?x0??3,??，使f?x0??0,
??方程4arctanx?x?4??3?0恰有两个实根. 3
（19）（本题满分10分）
设函数f(x)在区间?0,1?具有连续导数，f(0)?1，且满足
??f'(x?y)dxdy???f(t)dxdy, D??(x,y)0?y?t?x,0?x?t?(0?t?1)，求f(x)的表达
tDtDt式.
【考点】二重积分的计算；一阶线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】 解析：因为
??Dtf?(x?y)dxdy??dx?0tt?x0f?(x?y)dy??dx?0tt?x0f?(x?y)d(y?x)
x?tx?0??f(x?y)0t0ty?t?xy?0dx??[f(t)?f(x)]dx?f(t)x0t??f(x)dx
0t?tf(t)??f(x)dx，
??Dt1f(t)dxdy?f(t)??dxdy?t2f(t)
2Dtt1?tf(t)??f(x)dx?t2f(t).
022f(t)?0, 两边对t求导，得 f?(t)?t?2 9
dt?t?1解齐次方程得f(t)?Ce??2C
(t?2)24(0?x?1).
(x?2)2由f(0)?1，得C?4. 所以函数表达式为f(x)?
（20）（本题满分11分）
设向量组?1??1,0,?1，?2??0,1,1?，?3??1,3,5? 不能由向量组?1??1,1,?1,
TTTT?2??1,2,3?,?3??3,4,a? 线性表出.
（I）求a的值 ；
（II）将?1，?2，?3用?1，?2，?3线性表出. 【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换 【难易度】★★★ 【详解】
TT101解析：（I）因为?1,?2,?3?013?1?0，所以?1,?2,?3线性无关，
115又因为?1,?2,?3不能由?1,?2,?3线性表示，所以r??1,?2,?3??3，
113所以?1,?2,?3?12所以a?5
1131?a?5?0，
4?0113a02a?3?101113???（II）=?013124? （?1,?2,?3,?1,?2,?3）?115135????101113??101113??100215?????????013124???013124???0104210? ?014022??001?10?2??001?10?2???????故?1?2?1?4?2??3，?2??1?2?2，?3?5?1?10?2?2?3
（21）（本题满分11分）
10
?11???11?????A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A?00???00? ??11??11?????（I）求A的所有特征值与特征向量;
（II）求矩阵A.
【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量 【难易度】★★★ 【详解】
?11???11?????解析：（I）因为A?00???00?
??11??11??????1??1??1???1??1???????????所以A0?0，A0?0??0， ??????????????1????1????1????1????1??所以?1?1是A的特征值，?1?(1,0,1)T是对应的特征向量；
?2??1是A的特征值，?2?(1,0,?1)T是对应的特征向量.
因r(A)?2知A?0，所以?3?0是A的特征值. 设?3?(x1,x2,x3)T是A属于特征值?3?0的特征向量， 因为A为实对称矩阵，
所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即
T???1?3?x1?x3?0, 解得?3?(0,1,0)T ?T???2?3?x1?x3?0,故矩阵A的特征值为1,?1,0；特征向量依次为k1(1,0,1)T,k2(1,0,?1)T,k3(0,1,0)T，其中
k1,k2,k3均是不为0的任意常数.
?1??1??0???????110??0?? （II）将?1,?2,?3单位化得?1?，，?????1? 232??2???0?1????1??????令Q?(?1,?2,?3)?????120121201?2?0??1????T1?，则QAQ???1?
?0?0????? 11
?1??001???T??所以A?Q?1Q?000????.
??100?0?????（22）（本题满分11分）
设随机变量X与Y的概率分布分别为 X P
Y P 且P(X2?Y2)?1.
（I） 求二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II） 求Z?XY的概率分布； （III） 求X与Y的相关系数?XY.
【考点】二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布；两个随机变量简单函数的分布；相关系数 【难易度】★★★
解析：（I）因为P(X?Y)?1，所以P(X?Y)?0 即P(X?0,Y?1)?P(X?0,Y??1)?P(X?1,Y?0)?0 又因为P(X?0)?22220 1/3 1 2/3 0 1/3 1 ?1 1/3 1/3 12111,P(X?1)?,P(Y??1)?,P(Y?0)?,P(Y?1)? 33333所以(X,Y)的概率分布为
X Y -1 0 1 X
（II） Z?XY的所有可能取值为-1，0，1 .
0 1 31 30 1 31 0 1 31 3Y 1 32 30 1 31 1P?Z??1??P?X?1,Y??1??
31P?Z?1??P?X?1,Y?1??
31P?Z?0??1?P?Z?1??P?Z??1??
3Z?XY的概率分布为
12
