xt（9） 设f?x??limx?1?3t?，则f??x?? . t?0【答案】e3x?1?3x? 【考点】重要极限公式 【难易度】★★ 【详解】
解析：f?x??limx?1?3t??xlim??1?3t??t?0t?0所以有f??x??e3x?1?3x?.
xt??13t??3t?xt?x?e3x
（10） 设函数z??1???x??，则dzy?xy?1,1?? . 【答案】?1?2ln2??dx?dy? 【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】
解析：两边取对数得
lnz?xxln(1?)， yy由一阶微分形式不变性，两边求微分得
1xxxxdz?ln(1?)d()?d[ln(1?)]zyyyy1x?2x1xxyy?ln(1?)(dx?2dy)?(dx?dy)xyyyy1?x1?yy1xxxxx2dz?z[ln(1?)?]dx?z[?2ln(1?)?]dy2yyy(x?y)yyy(xy?y)将x?1，y?1，z(1,1)?2代入得
dz(1,1)??1?2ln2??dx?dy?
（11） 曲线tan?x?y?【答案】y??2x 【考点】隐函数微分法
5
????y??e在点?0,0?处的切线方程为 . 4?
【难易度】★★ 【详解】
解析：两边对x求导得sec(x?y?所以在点(0,0)处y?(0)??2，
从而得到曲线在点(0,0)处的切线方程为y??2x. （12） 曲线y?为 . 【答案】
2?4)(1?y?)?eyy?，
x2?1，直线x?2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积
4? 3y y?x2?1 【考点】定积分的应用 【难易度】★★ 【详解】 解析：
V???ydx???12221134x?1dx???(x?x)??. ??33122x 0 1 2
T（13） 设二次型fx1,x2,x3?xAx的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x?Qy??下的标准形为 . 【答案】3y12
【考点】用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】
?1??1?????解析：A的各行元素之和为3，即A1?31 ???????1???1??所以?1?3是A的一个特征值.
又因为二次型xAx的秩?r(A)?1??2??3?0. 因此，二次型的标准形为：3y1.
222（14）设二维随机变量?X,Y?服从正态分布N?,?;?,?;0，则EXY= .
T2????【答案】?(???)
【考点】数学期望的性质；相关系数的性质
6
22
【难易度】★★ 【详解】
22解析：因为?X,Y?~N?,?;?,?;0，所以X~N(?,?2)，,
??EX??,EY2?DY?(EY)2??2??2
又因为??0，所以X，Y相互独立.
由期望的性质有E(XY2)?EX?EY2??(???)。
三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明．．．过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
求极限limx?0221?2sinx?x?1
xln?1?x?【考点】无穷小量的比较；洛必达法则 【难易度】★★★ 【详解】
解析：当x?0时，ln(1?x)x
limx?01?2sinx?x?11?2sinx?x?1 ?limx?0x2xln?1?x??lim[1?2sinx?(x?1)][1?2sinx?(x?1)]x?0x2[1?2sinx?(x?1)]1?2sinx?(x?1)22sinx?2x?x2?lim?lim x?0x?02x22x21?x322sinx?2xx6?1??1?lim?lim?limx?0x?02x2x?02x2x222 （16）（本题满分10分）
已知函数f?u,v?具有连续的二阶偏导数，f?1,1??2是f?u,v?的极值，
?2zz?f(x?y,f?x,y?).求
?x?y?1,1?
【考点】多元复合函数的求导法；二阶偏导数；多元函数的极值 【难易度】★★★ 【详解】
解析：z?f(x?y,f(x,y))
7
x
y
z?f 1 2 f
x
y
?z?f1??1?f2??1?fx??f1??f2??fx? ?x?2z?f11???1?f12???1?fy??fx?[f21???1?f22???1?fy?]?f2??fxy???x?y?f11???f12??fy??fx?[f21???f22??fy?]?f2??fxy??
f?1,1??2为f?u,v?的极值 ?fx??1,1??fy??1,1??0
?2z??f11??(2,2)?f2?(2,2)?fxy??(1,1)?f11??(2,2)?f2?(2,2)?f12??(1,1) ?x?y(1,1)（17）（本题满分10分）
求不定积分
arcsinx?lnxdx ?x【考点】不定积分的基本性质；不定积分的换元积分法与分部积分法
【难易度】★★★ 【详解】 解析：
arcsinx?lnxarcsinx?lnxdx?2dx?2?(arcsinx?2lnx)dx ??x2x?t?x?t2?(arcsint?2lnt)dt?2t(arcsint?2lnt)?2???2?dt
2?1?t??2t(arcsint?2lnt)??d(1?t2)1?t2?4t?2t(arcsint?2lnt)?21?t2?4t?C
?2x(arcsinx?2lnx)?21?x?4x?C其中C是任意常数.
（18）（本题满分10分）
证明方程4arctanx?x?4??3?0恰有两个实根. 3【考点】闭区间上连续函数的性质；函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】
解析：令f(x)?4arctanx?x?则f(x)?'4??3， 34?1?0?x??3 1?x2?3 3 '当x?(??,?3)时，f(x)?0，f(x)单调递减；
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