2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）已知当x?0时，f?x??3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则（ ）
k（A）k=1, c =4 （B） k=1,c =?4 （C） k=3,c =4 （D） k=3,c =?4 【答案】 （C）
【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】
解析：方法一：当x?0时，sinxx
lim3sinx?sin3x3sinx?sinxcos2x?cosxsinx?0cxk?lim2xx?0cxk
?limsinx?3?cos2x?2cos2x??lim3?cos2x?2cos2xx?0cxkx?0cxk?1 ?lim3??2cos2x?1??2cos2xx?0cxk?1?lim4?4cos2x4sin2xx?0cxk?1?limx?0cxk?1 ?lim4x?0cxk?3?1?c?4,k?3，故选择（C）.
方法二：当x?0时，sinx?x?x33!?o(x3) f(x)?3sinx?sin3x?3[x?x3(3x)333!?o(x)]?[3x?3!?o(x3)]
?4x3?o(x3)故c?4,k?3，选（C）.
（2）已知函数f?x?在x=0处可导，且f?0?=0，则limx2f?x??2f?x3?x?0x3= （ ）
（A） ?2f??0? （B） ?f??0? （C） f??0? （D） 0. 【答案】（B）
【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
1
解析：limx?0x2f?x??2f?x3?x3?f?x??f?0?f?x3??f?0??? ?lim??23x?0xx?????f??0??2f??0???f??0?.
故应选（B）
（3）设?un?是数列，则下列命题正确的是 （ ） （A）若
?un?1??n收敛，则
?(un?1??2n?1?u2n)收敛 （B）若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1?n?1???（C） 若
?un?1n收敛，则
?(un?12n?1?u2n)收敛 （D）若?(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛
n?1n?1【答案】（A）
【考点】级数的基本性质 【难易度】★★ 【详解】 解析：由于级数
?(un?1?2n?1?u2n)是级数?un经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当?un收
n?1n?1??敛时，
?(un?1?2n?1?u2n)也收敛，故（A）正确.
???（4）设I??40nlnsixdxJ?，
?40lncotxdx，K??4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是（ ）
0（A） I?J?K （B） I?K?J （C） J?I?K （D） K?J?I
【答案】（B）
【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】
解析：如图所示，因为0?x??4时，
π/4 0?sinx??2?cosx?cotx，因此lnsinx?lncosx?lncotx 2???4lnsinxdx?0?4lncosxdx?0?4lncotxdx，故选（B）
0（5）设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩
2
?100??100?????阵，记P1??110?，P2??001?，则A= （ ）
?001??010??????1?1（A） P1P2 （B） P1 （D） P1P2 （C） P2P2P1
【答案】（D）
【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】
解析：由初等矩阵与初等变换的关系知AP1?B，P2B?E，
?1?1?1?1所以A?BP1?P2P1?P2P1，故选（D）
（6）设A为4?3矩阵，?1,?2,?3是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，k1,k2为任意常数，则Ax??的通解为（ ）
?k1(?2??1)
22???3????k1(?2??1)?k2(?3??1) （D） 23?k1(?2??1)?k2(?3??1) （C） 222（A）
（B）
【答案】（C）
【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】
?2??3?k1(?2??1)
?2??3?3??1,?2??1为Ax?0的解，解析：因为?1,?2,?3线性无关，故?3??1,?2??1线性无关，为Ax??的解，故Ax??的通解为
?2??32?2??32
?k1(?3??1)?k2(?2??1)所以应选（C）.
（7）设F1(x),F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）
（A）f1(x)f2(x) （B）2f2(x)F1(x)
（C）f1(x)F2(x) （D）f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x) 【答案】（D）
【考点】连续型随机变量概率密度 【难易度】★★ 【详解】
3
解析：
????f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)?dx????F2(x)dF1(x)????F1(x)dF2(x)
?????????????????F1(x)F2(x)????F1(x)dF2(x)??F1(x)dF2(x)?1
故选（D）.
（8）设总体X 服从参数为?(??0)的泊松分布，X1,X2,,Xn(n?2)为来自该总体的简单随机
1n1n?11样本，则对于统计量T1??Xi和T2?X?Xn，有 （ ） ?ini?1n?1i?1n（A）ET1>ET2,DT1>DT2 （B）ET1>ET2,DT1 【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质 【难易度】★★★ 【详解】 解析：由于X1,X2,且X1,X2,,Xn是简单随机样本，EXi?DXi???0，i?1,2,,n， ,Xn相互独立，从而 n1n11E?T1??E(?Xi)?E(?Xi)??n?E?X???， ni?1ni?1nn?1111?1n?1?E?T2??E?X?X?E(X)?E(Xn) ??in?in?1nn?1ni?1i?1???111?1??(n?1)E(Xi)?E(Xn)?E?X??E?X???1???n?1nn?n? 故ET1?ET2???? 1n11?又D?T1??D(?Xi)?2?n?D(X)?D?X??， ni?1nnn???1n?111?????D(T1)，D?T2??D(X?X)??(n?1)????in222n?1nnn?1i?1n(n?1)n 故选（D）. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．． 4
