概率问题中的对比思考
山东 曲国鼎 孙建龙
概率是高中数学新增的内容，本文就同学们易犯错误类型进行归纳对比，供同学们参考。 一、“非等可能”与“等可能”
例1. 先后抛掷两枚骰子，求事件A：出现的点数之和等于3的概率。
错解：掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，事件A的结果只有3，故P(A)?1 11事件A的基本事件数基本事件的总数剖析：公式P（A）＝仅当所述的试验结果是等可能时才成立，而
取数值2和3不是等可能的，2只有1种情况（1，1）出现，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其他的情况可类推。
正解：先后抛掷两枚骰子可能出现的情况有：（1，1），（1，2），……，（1，6），（2，1），（2，2），……，（2，6），……，（6，1），（6，2），……，（6，6），基本事件总数为6×6＝36
在这些结果中，事件A只有两种结果（1，2），（2，1）
?P(A)?21? 368 二、“互斥”与“对立”
例2. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有1个白球，都是白球
B. 至少有1个白球，至少有1个红球 C. 恰有1个白球，恰有2个白球 D. 至少有1个白球，都是红球 错解：选D
剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：
（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；
（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
正解：A、B不互斥，当然也不对立，C互斥而不对立，D不但互斥而且对立，所以正确答案应为C。
三、“有序”与“无序”
例3. 从10件产品（其中次品有3件）中，一件一件不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。
错误：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知，从10件取4件共有10×9×8×7种取法。
设A＝“取出的4件中恰有1件次品”，则A含有C3C7种取法（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件）。
133C113C7?P(A)??
10?9?8?748剖析：计算基本事件的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A所包含的基本事件的个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。
正解：（1）都用排列方法。
4113从10件产品中取4件共含有A10个基本事件，A包含A4?A3?A7个基本事件（4件中
要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到奖品，有A4种方式，对于每一方式，从
1133件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有A4?A3?A7种取法）。
113A1?A?A1?P(A)?4437?
2A10（2）都用组合方法
一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共含有C10个基本事件，A包
13含有C3?C7个基本事件。
4
3C113C7?P(A)?4?
2C10
年级 高中 学科 数学 版本 分类索引描述 期数 辅导与自学 栏目名称 学法指导 审稿老师 一校 陈丽娜 二校 审核 内容标题 概率问题中的对比思考 分类索引号 G.622.46 主题词 录入
概率问题中的对比思考 许咏梅 供稿老师
