21．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，BC=1：测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABCBC的长度，中分别表示出CE，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥DE于F， 则四边形ABEF为矩形， ∴AF=BE，EF=AB=3米， 设DE=x，
在Rt△CDE中，CE=在Rt△ABC中， ∵
=
，AB=3， ，
=
x，
∴BC=3
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3， ∴AF=
=
（x﹣3），
∵AF=BE=BC+CE， ∴
（x﹣3）=3
+
x，
解得x=9（米）． 答：树高为9米．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
22．AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO如图，交PO的延长线于点E，记∠EPD=∠1，∠EDO=∠2． （1）求证：∠1=∠2；
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠1=∠2；
（2）连接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长．
【解答】证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C， ∴∠APO=∠1且PA⊥AO， ∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°， ∴∠APO=∠2， ∴∠1=∠2； （2）解：连接OC， ∴PA=PC=6，
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∵tan∠PDA=，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10， ∴CD=4
∵tan∠PDA=，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5， ∵∠EPD=∠ODE， ∴△OED∽△DEP， ∴
=
=
=2，
∴DE=2OE
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=52， ∴OE=
．
【点评】本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
23．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
（2）若学校计划购买这两种图书共40本，其中甲种图书a本，投入的经费为W元， ①请写出W关于a的函数关系式；
②若投入的经费不超过1050元，且使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？并求出最节省的购买方案和最节省经费；
（3）若学校计划购买这两种图书总数超过30本，其中甲种图书a本，乙种图书b本，且投入的经费恰好为690元，则b= 24，27 （写出两种可能的值）． 【考点】一次函数的应用．
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【分析】（1）总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，根据两种图书数量之间的关系列方程；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，①根据总费用等于购买的甲种图书的费用+购买的甲种图书的费用即可求得函数关系式；②根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． （3）根据题意得
都是整数，即可求得b的取值．
【解答】解：（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，由题意得解得：x=20 则1.5x=30，
经检验得出：x=20是原方程的根，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；
（2）①设购进甲种图书a本，则购进乙种图书（40﹣a）本，根据题意得： W=30a+20（40﹣a）=800+10a， 即W=10a+800； ②
解得：20≤a≤25，
所以a=20、21、22、23、24、25，则40﹣a=20、19、18、17、16、15 ∴共有6种方案； 由W=10a+800可知： 当a取最小值时，W最小， ∴a=20，W最小=1000元； （3）根据题意得由①得a=
=23﹣b，
，
﹣
=10
，由①得a=
=23﹣b，代入②解得b＞21，因为a、b
代入②解得b＞21， ∵a、b都是整数， ∴b必须是3的倍数， ∴b=24，27，30，33…．
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