sin2??sin2??sin2??cos4??cos4??cos4??4sin218?
（参考专题讲座《三角函数》70）
分析：利用三角公式将三角恒等式转化为代数方程来解，有利于从复杂的公式变形中抓住代数本质，从而简化证明. 证明：
例14、已知：sin4xa?cos4xb?1a?b,求证：sin4nxcos4nx1a2n?1?b2n?1??a?b?2n?1,n?N?.（参考专题讲座《三角函数》70沈跃虎）
证明1：
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证明2：利用不等式的方法来证明等式，有时是迫不得已，有时是出奇制胜.
§2三角形中的恒等关系
（以下参考《高中数学专题讲座—三角函数》沈跃虎编著）
以下介绍三角形内的常见恒等关系.这是三角形中的一些基本的数量关系，从各方面刻画三角形中的种种不变量.牢固掌握这些恒等关系，将有益于我们看出问题本质，发现问题的源泉. 一、基本恒等式：
1、A?B?C??,A且A,B,C??0,??
分析：这是三角形中最最基本的恒等关系，恒等变形中不断被利用.对此可进一步限定： 当?ABC为锐角三角形时，A,B,C??0,????； ?2?当?ABC为直角三角形时，A,B,C中恰有一个角是直角； 当?ABC为钝角三角形时，A,B,C中恰有一个角是钝角. 2、正弦定理：
abc===2R（R为△ABC外接圆半径） sinAsinBsinC18
注：⑴从理论上正弦定理可解决两类问题：
①两角和任意一边，求其它两边和一角；
②两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 ⑵可用公式
asinA?2R求三角形外接圆的半径； ⑶注意正弦定理与等比性质的综合应用； 如
a?b?ca?bcsinA?sinB?sinC?asinA,
sinA?sinB?sinC等
⑷可用角的正弦值表示边：a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC(k?0) ⑸可用边表示角的正弦值：sinA?ta,sinB?tb,sinC?tc?t?0?
b2?a2?c2?2accosB；3、余弦定理： a2?b2?c2?2bccosA； c2?a2?b2?2abcosC注：⑴熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
⑵当夹角为90?时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2⑶变形cosA?2bc cosB?2ac cosC?2ab
⑷利用余弦定理 可以解决的问题：①已知三边，求三角； ②已知两边一角，求第三边 4、射影定理：a?bcosC?ccosB;b?acosC?ccosA;c?acosB?bcosA 以上三定理等价
证明：（见高中数学专题讲座—三角函数-沈跃虎P76）： ⑴ 正弦定理?射影定理
⑵ 射影定理?正弦定理
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⑶ 余弦定理?射影定理
⑷ 射影定理?余弦定理
tanB?CC?AA?B5、正切定理：b?c2c?atantanb?c?;?2;a+bc?a?2 tanB?C2tanC?Aa?b2tanA?B2证明：利用正弦定理，再由积化和差公式得之：
2sinB?CB?CBabcb?csinB?sinCcostan?CsinA?sinB?sinC?2R?b?c?sinB?sinC?B2?C2?2：2cossinB?CtanB?C222
6、半角公式：sinA??p?b??p?c?2;cosAp?p?a?A?p?b??p?c?bc2?bc;tan2?p?p?a? 说明：利用半角公式及余弦定理可得，注意此处p?12?a?b?c?
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