【高考地位】
解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】
类型一 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类
使用情景：一元二次不等式可因式分解类型
解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；
第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； 第三步 得出结论.
例1 解关于的不等式：ax2?(a?1)x?1?0(a?0). 【答案】详见解析.
考点：解含参的一元二次不等式
【点评】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为a?0，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为(x?)(x?1)?0，第二步，x1??1a1，x2?1，a讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式．
2【变式演练1】解关于x的不等式ax?(a?1)x?1?0（a为常数且a?0）.
【答案】a?0时不等式的解集为(,1)； 0?a?1时不等式的解集为(??,1)?(,??)；
1a1a1a?1时不等式的解集为(??,1)?(1,??)；a?1时不等式的解集为(??,)?(1,??).
a11若a?1，0??1，不等式的解集为(??,)?(1,??)
aa【解析】
若a?1，不等式的解集为(??,1)?(1,??)； 若a?1，0?11?1，不等式的解集为(??,)?(1,??)； aa考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练2】已知a?0，解关于x的不等式ax?(a?2)x?2?0． 【答案】当a??2时，{x| x＜-22或x＞1}；当a??2时，?xx?1?；当?2?a?0时，a2{x|x＜1或x＞-}．
a【解析】
试题分析：先将一元二次不等式用十字相乘法分解因式，可得方程等于0的两根．注意讨论两根的大小，再根据函数图象开口向下，可解得不等式． 试题解析：原式可化为：(ax?2)(x?1)?0
?2,x2?1 a22当a??2时，∵1??，∴其解集为{x| x＜-或x＞1}．
aa方程(ax?2)(x?1)?0的两根为：x1?2?1，且原不等式可化为(x?1)2?0，其解集为x?1 a22当?2?a?0时，∵??1，∴其解集为{x|x＜1或x＞-}
aa2综上所述：当a??2时，{x| x＜-或x＞1}
a当a??2时，∵?当a??2时，xx?1
当?2?a?0时，{x|x＜1或x＞-} 考点：一元二次不等式．
【变式演练3】已知二次函数f(x)?mx2?2x?3，关于实数的不等式f(x)?0的解集为
??2a??1,n?．
（1）当a?0时，解关于的不等式：ax2?n?1?(m?1)x?2ax；
（2）是否存在实数a?(0,1)，使得关于的函数y?f(ax)?3ax?1（x?1,2）的最小值为?5？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）当0?a?1时，原不等式的解集为?x|x?????2?或x?2?；当a?1时，原不等式a?的解集为?x|x?2或x?【解析】
??5?12?．（2） a??2a?试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：mx?2x?3?0的两根为?1和，
22??1?n?,??m?1,?m(x?2)(ax?2)?0，且m?0，从而?，解得?，再化简不等式，因式分解：
3n?3.??(?1)?n??,?m?最后根据两根2与数y?f(a)?3ax2大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，为一元二次函ax?1?a2x?(3a?2)ax?3?t2?(3a?2)t?3，其中a2?t?a，再根据对
3a?2，所以当t?a时，y取最小值。 2称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为a?
①0?a?1时，原不等式化为(x?2)(x?)?0，且2?2a22，解得x?或x?2； aa②当a?1时，原不等式化为(x?2)2?0，解得x?R且x?2； ③当a?1时，原不等式化为(x?2)(x?)?0，且2?综上所述：
当0?a?1时，原不等式的解集为?x|x?2a22，解得x?或x?2； aa??2?或x?2?； a?2??． a?当a?1时，原不等式的解集为?x|x?2或x???
