(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在
(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明:
(20)(本题满分9分)
已
知
二
次
型
(1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??. 22f(x1,x2,x3)?(1?a)x12?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.
(19)(本题满分12分)
设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydyL2x2?y4的值恒为
同一常数.
(1)证明:对右半平面x?0内的任
意分段光滑简单闭曲线C,有
???(y)dx?2xydyC2x2?y4?0.
(2)求函数?(y)的表达式.
的秩为2.
(1)求a的值；
(2)求正交变换x?Qy,把
f(x1,x2,x3)化成标准形.
(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
(21)(本题满分9分)
已知3阶矩阵A的第一行是
(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵
?123?B???246?(k为常数),且AB?O,求???36k??线性方程组Ax?0的通解.
9
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)? 1
0?x?1,0?y?2x0其它
求:(1)(X,Y)的边缘概率密度
fX(x),fY(y).
(2)Z?2X?Y的概率密度
fZ(z).
(23)(本题满分9分)
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体
N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,
记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.
求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
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2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题
4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)limxln(1?x)x?01?cosx?.
(2)微分方程y??y(1?x)x的通解
是 .
(3)设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)
的
下侧,则
??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?
?.
(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= .
(5)设矩阵A???21???12??,E为2阶单
位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则
B= . (6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则
P?max{X,Y}?1?= .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个
选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在
x0处的增量,?y与dy分别为f(x)在点
x0处对应的增量与微分,若?x?0,则
(A)0?dx??y (B)0??y?dy
(C)?y?dy?0
(D)dy??y?0
(8)设f(x,y)为连续函数,则
??410d??0f(rcos?,rsin?)rdr等于
(A)2?221?x0dx?xf(x,y)dy
(B)2?21?x20dx?0f(x,y)dy
(C)2?21?y20dy?yf(x,y)dx
(C)2?21?y20dy?0f(x,y)dx
(9)若级数??an收敛,则级数
n?1(A)??an收敛
n?1 (B)??(?1)nan收敛
n?111
(C)??anan?1收敛
n?1 (D)??an?an?1收敛 n?12(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?1y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若
fx?(x0,y0)?0,则
fy?(x0,y0)?0
(C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (D)若
fx?(x0,y0)?0,则
fy?(x0,y0)?0
(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是 (A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则
Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关
(B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则
Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关
(C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则
Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关
(D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则
Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.
(12)设A为3阶矩阵,将A的第2
行加到第1行得B,再将B的第1列的
?110?-1倍加到第2列得C,记P???010??,??001??则
(A)C?P?1AP (B)C?PAP?1 (C)C?PTAP (D)C?PAPT
(13)设A,B为随机事件,且
P(B)?0,P(A|B)?1,则必有
(A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B) (C)P(A?B)?P(A) (D)P(A?B)?P(B) (14)设随机变量X服从正态分布
N(?2),Y服从正态分布N(?,?21,?122),
且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则
(A)?1??2 (B)?1??2
(C)?1??2 (D)?1??2
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或
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