本科生毕业论文
x2x3xy?x??2?aa,
从而 xy?ay?a, 所以 y?例2?10?a， ?|x|?a?. a?x 求
?nxn?1?n的和.
解 不难求得它的收敛域为??1,1?， 令 s?x??x?2x2?则 xs?x??x2?2x3??nxn?， ，
?xn???nxn?1?两式相减即得 ?1?x?s?x??x?x2?x3?由此即得 s?x???nxn?n?1?x， x???1,1?， 1?xx?1?x?2， x???1,1?.
6 微分方程法
根据条件，应用微分、积分技巧，构造所求和函数所满足的微分方程及其定解条件，再解相应的微分方程求得和函数，这样就能使幂级数和函数问题转化成微分方程问题，并最终实现幂级数和函数的求解.
例1
[2,11,12]x2x3x4x5x6???? 求级数 1?x??21?32?41?3?52?4?6的和函数.
解 收敛域为???,???，
x2x3x4x5x6????设 s?x??1?x??21?32?41?3?52?4?6x3x4x5??逐项微分知 s'?x??1?x?x??21?32?42，
?x2x3x4?1?x?1?x????21?32?4??x?t?2解此微分方程知s?x??e??edt?1?.
???0?x222???1?xs?x?，且 s?0??1， ?例2
[2,12,13] 求1??2n?1?!!xn的和函数. ?n?1?2n?!!?7
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解 设un??2n?1?!! 因为 limunn??u?2n?!!n?1?lim?2n?2?1 故它的收敛半径为1.
n??2n?1n当x??1时，由莱布尼茨判别法可知 ???1?n?1?2n?1?!!收敛; ?2n?!!当x?1时， 由拉贝判别法可知 ?令 s?x??1??逐项求导，有s'?x????2n?1?!!发散.所以此级数的收敛域为?1,1.
??n?1?2n?!!??2n?1?!!xn， x??1,1.
??2n!!??n?1，
11?31?3?52?2x?3x?22?42?4?6两端同乘x后与上式相减得
?1?x?s'?x???11111?3211?3?53??x??x??x?22222?422?4?6121?321?3?53?1x?x??1?x?2?42?4?6?2
?1??s?x?， ?2由此推出
s'?x?1且有s?0??1， ?s?x?2?1?x?1， x???1,1? . 1?x解此微分方程得 s?x???abnxkn?c（a,b为实数，k,c为正整数）的和函数时，可利 小结 对于求形如?n?0(kn?c)!用微分方程法求解，其构造方法如下：
??abnabnabnkn?ckn?c?1x，s?(x)??xxkn?c?2， 设s(x)??，s??(x)??n?0(kn?c)!n?0(kn?c?1)!n?0(kn?c?2)!??abnknabn(c?1)s(x)??xs(x)??xkn?1n?0(kn)!n?0(kn?1)! ，，
(c)??abnabnkn?c?ks(x)??x?b?xkn?cn?1(kn?c?k)!n?0(kn?c)! ,则得方程式s(k)(x)?bs(x)。
(k)?7 柯西法
在求幂级数的和函数时，可根据问题的需要，对已知级数的通项拆项组合，使其为两
个已知和函数的幂级数乘积，从而得到所求幂级数的和函数.
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定理
?[7]设级数?an、?bn绝对收敛，则它们的柯西乘积?cn也绝对收敛，且必有
n?1n?1n?1?????????cn=??an????bn?. ?n?1?n?1??n?1?例
[14,15]?11 求和s?x????1???23n?1??1???xn，|x|?1. n?解 令an?xn?1，n?1,2则 ?an??xn?1?n?1?n?1?,|x|?1,
??1 ?|x|?1?收敛. 1?xxn??n??ln?1?x?，此级数于??1,1?内是收敛的.
xnx2x3?x???令 ?bn??n23n?1n?1xnxn?1?由上面定理可得 cn?1??x?nn?1故 s?x?=
????11?xn?1?x??1????231???xn，|x|?1， n??cn=?an??bn=
n?1n?1n?1?ln?1?x? |x?. |11?x8 差分算子求和法
此方法适用于通项系数是以n为自变量的有限次多项式的幂级数求和问题。若f(x)为
任意实函数，Δ为差分算子，则定义函数f(x)的一阶差分为?f(x)?f(x?1)?f(x), n阶差分为?nf(x)??(?n?1f(x)),n?2,3....
定理1m?16? 设p(x)为m次多项式，则当x?1时，
?p(n)xn?0?n收敛，且和函数s(x)是
xk?(0). ?k?1(1?x)k?0k例 求幂级数?(n2?2n?1)xn的和函数s(x).
n?0? 解 由于P(n)?n2?2n?1，故?p(n)?2n?3 ?2p(n)?2 所以由定理1得
p(0)x?p(0)x2?2p(0)13x2x2?????(x?1). s(x)?1?x(1?x)2(1?x)31?x(1?x)2(1?x)3
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9 微分算子求和法
此方法适用于通项系数是以n为自变量的两个有限次多项式之商的幂级数的求和情形.
即：令D?定理2d为微分算子，且(xD)k?xD(xD)k?1，则： dx[16]若p(x),Q(x)为两多项式，则当Q(k)?0,k?0,1,2…时，幂级数?1. 1?xp(n)nx收
n?0Q(n)?敛，其和函数s(x),应满足微分方程Q(xD)s(x)?p(xD)例1 用微分算子求和法计算上例中的幂级数的和函数.
解 令p(n)?n2?2n?1 ,Q(n)?1 .由定理2知其和s(x)应满足方程：
2s(x)??(xD)?2(xD)?1???11111=x2( )???x()??2x()??1?x1?x1?x1?x1?x13x2x2??(x?1). =
1?x(1?x)2(1?x)310 其他几种幂级数求和方法
11?x?xxx(1?x)?x2x2??1??1??1?x??例1 1?x1?x1?x1?x1?xxn?11若x?1,则余项?1?x?x2??0(n??)，所以有
1?x1?x=1?x?xn?1+x?.
1?xn，x?1.
注 此方法被一些文献称为升幂除法. 例2 求
1x14x2147x3?()?()?... 的和函数. 323623692解 易知该幂级数的收敛域为??2,2?，
x?11x14x2147x3?()?()+由于 (1?)3?1?2323623692x?1故原式 f(x)?(1?)3?1 x???2,2?.
2,
注 此方法主要应用了二项式展开 .
n3xn 例3 求?的和函数f(x).
n?0(n?1)!? 解 易知该级数的收敛域为(??,??)，
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