b2
∴b1＝2a1，b2＝4a1，等比数列{bn}的公比q＝b＝2.
1则bn＝2a1·2n－1＝2na1.
∵2n∈N*，∴{bn}中的每一项均为{an}中的项． 11
(2)解析：∵a1＝2，∴bn＝2n×2＝2n－1. 由bn＋1·cn＝(－1)n(1＋2log2bn)，得 2n·cn＝(－1)n[1＋2(n－1)]＝(－1)n(2n－1)． ?－1?n?2n－1?1n∴cn＝＝(2n－1)(－
2n2).
11111
Tn＝(－2)＋3(－2)2＋5(－2)3＋…＋(2n－1)(－2)n，－2Tn＝1＋3(－2)＋5(－121n－1)＋…＋(2n－1)(－22).
1111
两式相减，得－3Tn＝1＋2(－2)＋2(－2)2＋…＋2(－2)n－1－(2n－1)(－2)n 1111
＝1－2＋2·[1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1]－(2n－1)(－2)n 1
1－?－?n
21n
＝－1＋2·－(2n－1)(－
12) 1－?－2?441n1n
＝－1＋3－3(－2)－(2n－1)(－2) 6n＋11n116n＋11n
＝3－3(－2)，∴Tn＝9(－2)－9.
13．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－2n－2＝0，(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝
1
an＋1an＋2an＋3
＋1＋1
1
＋…＋a，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]
2n
1
时，不等式t2－2mt＋6>bn恒成立，求实数t的取值范围．
解析 (1)由题意得an－an－1＝2n(n≥2)， 累差叠加，得an＝n(n＋1)(n≥2)． 又a1＝2，所以an＝n(n＋1)，(n∈N*)．
(2)bn＝＝
111
＋＋…＋ ?n＋1??n＋2??n＋2??n＋3??2n??2n＋1?
11nn－＝＝2， n＋12n＋1?n＋1??2n＋1?2n＋3n＋1
11
bn＝，b的最大值为b＝n1
16， 2n＋n＋311
所以t2－2mt＋6>6恒成立，m∈[－1,1]．
构造g(m)＝－2tm＋t2，即g(m)>0恒成立m∈[－1,1]． 当t＝0，不成立；
?g?－1?>0，
当t≠0，g(m)是一次函数，?
?g?1?>0，解得t∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
14．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝
1
(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 2an－1
n
4?n＋1?
答案 (1)an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2) (2)Tn＝
解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由于a3＝7，a5＋a7＝26， 所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26， 解得a1＝3，d＝2.
n?a1＋an?
由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝，
2所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)． 1111因此bn＝＝4(n－)．
4n?n＋1?n＋1故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
111111
＝4(1－2＋2－3＋…＋n－)
n＋1
11n＝4(1－)＝.
n＋14?n＋1?
n
所以数列{bn}的前n项和Tn＝. 4?n＋1?
15．设数列{an}是等差数列，其前n项和Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值．
解析 方法一 a5＝S5－S4≤5， S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，
a3＋a5
a3≤3，则a4＝≤4，a4的最大值为4.
2?S4＝4a1＋6d≥10，
方法二 ∵??
?S5＝5a1＋10d≤15?－2a1－3d≤－5，??d≤1. a＋2d≤3?1
又∵S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3≤15，∴a3≤3. ∴a4≤4.故a4的最大值为4.
方法三 本题也可利用线性规划知识求解． ?4a1＋6d≥10，由题意得??
?5a1＋10d≤15?2a1＋3d≥5，?a4＝a1＋3d. ?a1＋2d≤3.
?2a1＋3d≥5，
画出可行域?求目标函数a4＝a1＋3d的最大值，即当直线a4
?a1＋2d≤3，＝a1＋3d过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a4＝4.
16．(2012·天津)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由条件，得方程组
3
?2＋3d＋2q＝27，?d＝3，?解得? 3
?8＋6d－2q＝10，?q＝2.
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*. (2)方法一 由(1)得
Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1， 2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n－1a1. 由②－①，得
Tn＝－2(3n－1)＋3×2＋3×2＋…＋3×2＋2＋2＝10×2n－6n－10.
而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故 Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*.
方法二 (1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，即Tn＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时，有 Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
由(1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
17．(2012·陕西)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 解析 (1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)， 由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4.
2
3
n
n＋2
① ②
12?1－2n－1?
＝＋2n＋2－6n
1－2
