推广到任意维流形，从而开拓了黎曼几何的新篇章．它的主要工具是张量分析．
在黎曼的影响下，德国数学家克里斯托费尔(E.B.Chri-stoffel，1829—1900)把ds2推广成一般的形式∑gijdxidxj，研究在局部坐标变换之下，两个ds2是如何互相变换的．这样他引进了以他名字命名的克里斯托费尔记号Г
i
jk．利用这个记号他能够对于向量场进行微分，
即所谓协变微分法．1887年意大利数学家里奇(R．Ricci-Curbastro，1853—1925)定义了张量概念，在克里斯托费尔公式的启发下，定义了张量的一般运算，即协变微分或绝对微分法．有了这个工具，对于黎曼几何的研究对象黎曼流形(即微分流形具有一个指定的正定黎曼度量ds2)，也可以定义类似高斯曲率的量，但这时曲率不是一个数量，而是一个张量，称为曲率张量(或黎曼——克里斯托费尔张量)．如果曲率张量处处相等，则黎曼流形称为常曲率的．非欧双曲几何(罗巴切夫斯基几何)，就是研究曲率＜0的常曲率空间；而非欧椭圆几何，则是研究曲率＞0的常曲率空间．普通欧几里得空间，处处曲率都等于0．
20世纪初，微分几何学还与克莱因的变换群观点下的几何学结合起来，形成了射影微分几何学、仿射微分几何学及保形微分几何学．射影微分几何学研究空间中图形的微分几何性质中在射影变换群下不变的那些性质．在达布(J.G.Darboux)的曲面论中已多处看到其萌芽．本世纪初，美国数学家魏尔钦斯基(E．J．Wilczynski，1876—1932)和意大利数学家福比尼(G．Fubini，1876—1943)独自进行了系统的研究，后来E·嘉当、切赫、意大利数学家邦比安尼(E．Bompiani， 1889—1975)均作出重大贡献．相应有仿射微分几何学．对这种几何学，定向闭超曲面的体积是不变量．对于这种几何学，能够应用活动标架法．在这方面作出主要贡献的是德国数学家布拉施克(W．Blasckke，1885—1962)，他特别对曲线、曲面得出大范围性质．布拉施克也对保形微分几何学进行研究．他的《微分几何学讲义》(Vorlesungen über Diferentialgeometrie)(Ⅱ1923，Ⅲ1929)长期以来是这方面标准著作．
1901年里奇和他的学生列维—奇维塔(T．Levi-Civita，1873—1941)系统地建立了张量分析的技术，提出求绝对微分不变式的一般问题，并且指出这些与坐标选取无关的量在物理问题与数学问题中肯定是有意义的．20世纪初，张量分析还只是少数数学家手中的工具，而一旦被爱因斯坦用在广义相对论上，不仅物理学家找到理想的数学工具，反过来激发人们对于黎曼几何及张量分析的兴趣，从而极大推动了微分几何学的发展．数学家决不满足于只给物理学家提供工具，他们要走自己的道路，而在这条道路上后来依然不断地为物理学提供工具．
由于黎曼几何学在爱因斯坦广义相对论中取得成功，引起了数学家对黎曼几何学的各种推广．芬斯拉(P．Finsler，1894—1970)在他的1918年博士论文中首先把线素ds中的基本张量gij推广，即gij不仅依赖空间中的点而且还依赖该点切向量的方向．因此，由度量得到克里斯托费尔符号不规定联络．于是E．嘉当由一般联络理论定义芬斯拉空间上的联络，不过，它具有三种曲率张量，从而比黎曼空间复杂得多．更一般的道路几何学由美国数学家爱森哈特(L．Eisenhart，1876—1965)及维布伦在1922年提出来，以微分方程定义的道路为空间的基本元素．另外，E·嘉当提出以面积元素为基础的空间，称为嘉当空间，1937年日本数学家河口商次(1902—1984)更提出更一般的高阶线元空间或河口空间．
1917年，列维—奇维塔提出平行移动的概念．他的出发点是考虑黎曼流形上两个向量平行的意义，他把向量场X(t)沿曲线Г平行移动定义为X(t)，对曲线的协变微分等于0，由此推出沿着测地线(也就是短程线)，曲线切向量是平行移动的．这样可不必通过ds2得出曲率概念．1918年，外尔注意到平行性是仿射几何的概念，与度量无关，因此从黎曼空间中除去度量性质，只保留平行概念就可以得出更广的几何理论．为此他提出第一个联络的概念——仿射联络，它可以看成是Г
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jk的变换关系式的推广，但却不依赖于ds2的选取．这样
通过联络可以直接引进曲率，而不必籍助于度量．这种几何理论叫仿射联络几何学．其后E．嘉当进一步发展了联络的概念，他在1922年到1923年引进仿射联络、射影联络、保形联络，建立了系统的联络理论．同时，他发展了由达尔布及黎包古尔(A．Ribaucour，1845—
1893)发展的“活动标架法”，这成为他发展一般联络理论的工具．
20世纪的微分几何学另一个重要发展方向是大范围微分几何学．以前的微分几何学局限于每点临近的范围，只限于描述局部的性质，而对于整个曲面或流形的性质则所知甚少．19世纪末起，许多几何学的研究，涉及局部性质与整体性质的关系：阿达马1898年证明，一个完备的单连通，处处曲率非正的曲面一定同胚于欧氏平面．1899年希尔伯特证明，三维欧氏空间中不存在处处曲率为负的完全曲面而没有奇点，从而指出非欧双曲几何的曲面模型在空间中一定有奇点．德国数学家李伯曼(W．Liebma-nn，1874—1939)在1899年证明三维欧氏空间中完备的正常曲率团曲面一定是球面．
测地线为局部性质和整体性质的相互关系提供了另外一个突出的例子．所谓测地线就是曲面上一条距离最短的曲线C，也就是从C上一点P到C上另外一点Q的路径中，如果P和 Q不相距太远的话，沿着C的路径是曲面上所有(P到Q的)可能路径中最短路径．因此，在通常的球面上，每个大圆是一条测地线．几何学家已在许多特殊的曲面上明显指出测地线来．庞加莱首先研究在紧流形上，不同的封闭测地线的存在和数目问题，其后经过美国数学家柏克霍夫、莫尔斯和前苏联数学家刘斯铁尔尼克(Л．А．Люетсрник，1899—1981)，施尼列尔曼和其他人的工作，得到一个一般的存在性定理，这定理断言，在给定的闭凸曲面上至少存在三种不同的简单闭测地线．莫尔斯曾举出一个例子，表明这个结果中的三条是最佳的数字，不能再改进了．克林根柏格(W． Klingenberg，1924—)和其他人把这个结果由曲面推广到高维情形．
另一个研究最多的问题是极小曲面问题．1873年普拉托(J．Plateau，1801—1883)的著作《实验和理论流体静力学》出版，他是比利时物理学家，长期以来对肥皂泡进行了大量的研究．他把金属丝圈成各种封闭的曲线形状，浸泡在肥皂水或甘油溶液中．当金属丝圈被拉出来时，在金属丝圈上就张上一层肥皂薄膜．由于表面张力的作用，在同一边界曲线上张成的曲面是所有可能的曲面中面积最小的，在数学上称为极小曲面．所谓普拉图问题就是要证明这样的定理，对于给定任意形状的边界线圈，只假定边界闭曲线是可求长度的(即有一个长度)，那么总存在一个极小曲面．实际上数学家早就考虑过这个问题，拉格朗日在1760年就已经用变分方法推导出极小曲面应该满足的偏微分方程，这是一个二阶的非线性偏微分方程，因此问题就变成解这个方程了．尽管19世纪许多大数学家如魏尔斯特拉斯和施瓦兹等人都对此做出贡献，但一直到1930年这个解的存在性才首先由匈牙利数学家拉多和美国数学家道格拉斯(J．Douglas，1897—1965)所证明，但是，他们的解并不排除曲面可能存在奇点(它们是分支点)．1970年奥斯曼(R．Osserman，1926—)的研究排除掉这种可能性，他证明极小曲面不出现分支点．
六、李群与李代数
丢东涅说过“李群成为数学的中心，没有它什么大事也干不成”，这句话虽说有点夸大，但的确反映出李群同几乎所有纯粹数学部门——拓扑学、微分几何学、代数学、数论、多复变函数论、微分方程论、调合分析等领域不可分的密切关系，而且对物理、化学也是必不可少的工具，就连经济学也有李群的用武之地．
1．李群的刻划和结构．
李群是挪威数学家李(S．Lie，1842—1899)的创造．他的思想来源有三方面：一是几何学，他和克莱因曾经共同合作研究几何学，他们把几何学对象由具体的几何图形转换到变换群上，这明确在克莱因的埃尔兰根的纲领中得到表述．1872年他们似乎有一种默契对他们各自的研究领域有一个分工：克莱因研究离散变换群，而李则研究连续变换群．二是微分方程论．李的老师西洛把伽罗瓦理论引进挪威，对李有深刻的影响，既然有限置换群是研究代数方程可解性的工具，李引进“有限连续群”(即后来的李群)就是为了研究微分方程的可解性的．换句话说，也就是发展微分方程的伽罗瓦理论．三是力学，李在1870年引进“切触变换”的概念，对他来讲，重要的一步是把两函数的波松括号解释为两个无穷小变换的切触变换的括号，这个括号引导他研究李群的局部结构(也就是李代数)的性质．
李产生“有限连续群”的概念是在1873年，在1874年到1879年发表的头一批论文中他只用群的封闭性，并且还有许多不确切的地方．在1880年他发表的《变换群论》(Theorie der Tr- ansformations gruppen)才假设群的元素的逆元素存在，并修正以前的一些错误．李自己关于有限连续群较好的论述是他同他的学生德国数学家恩格尔(F．Engel，1861—1941)合著三卷《变换群论》(1888—1893)中表述的，其中他首先定义某一区域D上的变换：
x′i=fi(x1，?，xn)(i＝1，?，n)
其中fi均是解析函数，如果函数行列式不等于零，则局部(在D中某点适当邻域)的这个变换有逆元素．其次，他考虑依赖于r个参数a1，?，ar的变换：
x′i=fi(x1，?，xn；a1，?an)．
这样得到一组变换．如果两个变换的乘积也在这组之中，那么这组变换就称为有限连续群．不过，他们也注意到这时必须假定幺元素及逆过元素存在，否则可能构不成群．不过李和他的合作者实际上考虑的是无穷小变换和由无穷小变换构成的“李代数”，并证明了三大基本定理．实际上，李代数是r，维线性空间，具有乘积[A，B]，它满足[B，A]=-[A，B]，[A，[B，C]]＋[B，[C，A]＋[C，[A，B]]＝0．第二个等式即雅可比恒等式．由此可见，它是非交换、非结合的线性代数．李还证明：局部同构的李群定义同一李代数．他们以为反过来也对，实际上这是错误的．这样他们把研究李群问题归结为李代数的研究．
从1883年起，李等人开始研究李代数的结构，而且得出四个类型局部单李群，即射影线性群，射影正交群及射影辛群，这就是后来的典型李群(李代数)的来源．1888年到1890年，德国数学家基林(W．Killing，1847—1923)更找出例外的单李群．1894年法国大数学家嘉当在他的博士论文中弥补了基林等人的漏洞，证明半单李群为单李群的乘积，证明单李群即是基林发现的五种例外群以及李的四类典型群．实际上完成了复数域上单李代数的结构及分类的研究．1914年，他研究实数域上单李代数的结构．大约同时，他在单李代数结构理论的基础上引进了“权”的概念，决定了复单李代数的所有不可约表示．
到1925年左右，对于原来的李群的整体(大范围性质)了解很少，由于外尔的几篇论文(1925—1927)才真正开始李群论的研究．外尔把E．嘉当的无穷小方法和弗洛宾尼乌斯和I·舒尔(I．Schur，1875—1941)的有限群的特征标理论结合起来，把胡尔维茨(A．Hurwitz，1859—1919)的积分技巧搬到紧群上．他证明半单李群的表示是完全可约的．稍后又得出紧群的表示理论并为它在物理学上的应用开辟道路．E·嘉当(1927—1930)在外尔工作的启示下建立起半单李群和对称空间的漂亮理论，并开始通过不变微分形式来研究对称空间的实上同调，后来导致德·拉姆(G．W．de Rham，1903—1990)定理的产生(1931)．对李群及对称空间的拓扑学研究还导致李代数上同调、纤维丛及示性类的丰硕成果，使拓扑学及微分几何学呈现崭新的局面．
这样，李群理论由分析及微分方程开始，转变成代数的理论(李代数)，又由局部转变成大范围理论，最后到三十年代与拓扑学及微分几何学连系在一起，在各方面发挥重要的影响．
2．李群概念的演化及推广
虽然李把他的“群”称为有限连续群，实际上，它既不有限且元素数目有限必定离散即不连续．他用函数定义变换是解析的，至少也要可微的．所以希尔伯特在他的巴黎数学家大会上提出的23个问题中，第5个问题就问是否能把解析及可微的条件简化为“连续”．其后由于抽象代数学及拓扑学的发展，促使人们对李群概念进行分析，李群一身兼三任：既是解析流形，又是拓扑空间，还是群．兼备拓扑空间和群两方面的结合是拓扑群．
一般的拓扑群概念是施莱尔(O．Schreier，1901—1929)在1927年首先提出的，他给出一组一般的公理：一方面有群的公理，一方面是拓扑空间(一般是豪斯道夫空间)，群与拓扑的关系是群的运算在该拓扑之下是连续的．如果加上群的每元素局部与欧氏空间开集同胚，
则称为局部欧氏群．但李群一般不一定紧，最接近李群的是局部紧拓扑群．1933年匈牙利数学家哈尔(A．Haar，1885—1933)在局部紧拓扑群上给出不变测度，后称哈尔测度，藉助于它冯·诺伊曼证明局部欧氏紧群是李群．但对一般局部紧欧氏群一直到1951年才由三位美国数学家格里森(A．Gleason，1921—)、蒙哥马利(D．Montgomery，1909—)和齐平(L．Zippin，1905—)完全解决．当时关于拓扑群及李群的一些结果总结在邦特里亚金
(Л．C．ПCHTРЯГЦН， 1908—1988)的《连续群》(1938)一书中，而对李群的现代刻划则见于薛华荔的《李群论》第一卷(1946)中．
七、数论
1912年，德国数学家朗道(E．Landau，1877—1938)在英国剑桥召开的第五届国际数学家大会上十分悲观地说：即使要证明下面比较弱的命题，在当时也是十分困难的：存在一个正整数k，使得每个≥2的整数都是不超过k个素数之和．
不难看出，这个命题同希尔伯特不久前证明的华林问题在形式上十分相似．它们都是把任一整数表示成为有限多个某种特殊类型的整数之和的可能性问题．希尔伯特只解决了这种表示的存在性问题，但并没有给出法数的估计．1918年英国数学家哈代(G．H．Hardy，1877—1947)与印度数学家拉曼纽詹(S．Ramanujan，1887—1920)首先发表圆法，但没有应用于哥德巴赫猜想及华林问题．
1920年开始，哈代与李特尔伍德发表一系列论文，总题目是“‘数的分拆’的某些问题”，系统地发展了圆法并首先应用于华林问题，并给出g(k)及G(k)的明显公式，其中1923年发表的Ⅲ，Ⅴ两篇文章就是专门讨论哥德巴赫猜想的．
1920年挪威数学家布龙(V．Brun，1885—1978)改进了原始的筛法，创造了所谓布龙筛法，得到了任何大偶数都可以表示为两个数之和，每个数的素因子数目不超过9个的结论．(我们简记为9＋9)．后来相继改进为(7＋7)(1924)，(6＋ 6)(1932)，(5＋5)(1938)和(4＋4)(1940)， 1947年挪威数学家塞尔伯格(A．Selberg，1917—)大大改进了布龙筛法，它能得出更好的定量结果(相当于2＋3)．1941年苏联数学家林尼克(Ю．В．ЛИННИК，1915—1972)发明大筛法，1948年匈牙利数学家瑞尼(A．Renyi，1921—1970)把大筛法加以精密化，首先得出(1＋c)．1965年英国数学家罗斯(K．F．Roth，1925—)及意大利数学家明比利(E．Bombieri，1940—)大大改进了大筛法，得出大筛法不等式，因此可以得出(1＋3)．1966年陈景润改进前人的方法，宣布了(1＋ 2)， 1973年发表了全部证明．
研究加法数论的另一个初等方法是密率法，它是由苏联数学家史尼列尔曼在1930年创造的，首先解决了朗道在1912年提出的较弱的哥德巴赫猜想，这在当时引起了轰动．朗道等人很快就对方法及结果加以改进，不仅得出新结果，而且应用到其他数学领域．
黎曼猜想是如此重要，以致成为许多20世纪数学家研究的对象．
至少有AT那么多(其中A是一个正实数)．1942年，挪威数学家塞尔伯
临界线上．
代数数论是研究代数数域及其代数整数环的结构的．所谓代数数是指满足有理整系数代数方程的根，如果代数方程的首项系数为1，则代数数称为代数整数．最早把整数推广到代数整数的是高斯，他在1831年为了研究四次互反律而引进所谓“复数”，即形如
