第十一章 计数原理、随机变量及其分布
学案63 两个计数原理
导学目标： 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．
自主梳理
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是涉及完成一件事的不同方法的种数，它们的区别在于：分类加法计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，从思想方法的角度看，分类加法计数原理的运用是将一个问题进行“分类”思考，分步乘法计数原理是将问题进行“分步”思考．
自我检测 1．(2009·北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A．324 B．328 C．360 D．648 2.
如图小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A．26 B．24 C．20 D．19 3．(2011·青岛月考)某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种 4．(2010·湖北)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A．56 B．65 5×6×5×4×3×2C. D．6×5×4×3×2
2
5.
如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有________种．(以数字作答)
6．(2011·泉州调研)集合A含有5个元素，集合B含有3个元素．从A到B可有________个不同映射．
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探究点一 分类加法计数原理的应用
例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
x2y2
变式迁移1 方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，
mn
n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？
探究点二 分步乘法计数原理的应用 例2 (2011·黄山模拟)乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？
变式迁移2 有0、1、2、?、8这9个数字．
(1)用这9个数字组成四位数，共有多少个不同的四位数？ (2)用这9个数字组成四位密码，共有多少个不同的四位密码？
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探究点三 两个计数原理的综合应用
例3 如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种
同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( ) A．180种 B．240种 C．360种 C．420种 变式迁移3
如图所示为一电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电．
分类讨论思想
例 (12分)从1到20这20个正整数中，每次取出3个，问：它们可以组成多少组不同的等差数列．
多角度审题 本题是一道计数原理与等差数列的综合题，能构成等差数列的三个数有很多，到底如何取这三个数才能准确的、不重、不漏的找出所有能构成等差数列的三个数是本题的难点．
【答题模板】
解 依题意，要使这三个数成等差数列，公差d的取值可以为±1，±2，?，±9，因此分18类．[3分]
当d＝±1时，可以组成36组不同的等差数列； 当d＝±2时，可以组成32组不同的等差数列； ?； 当d＝±9时，可以组成4组不同的等差数列．[9分] 根据分类加法计数原理，共有36＋32＋28＋?＋8＋4 ＝180(组)不同的等差数列．[12分] 【突破思维障碍】
由于取出的三个数必须构成等差数列，因此，按照公差的大小来分类能使取出的三个数不重不漏，那么每一类型有多少个三位数，由于从前往后取，关键看取到最后，由各数列的特点，就能看出有几个数列，例如：当等差数列的公差为1时，能构成等差数列的三个数为1 2 3,2 3 4,3 4 5，?，18 19 20，查个数时，看每组数的第一个数，分别为1,2,3，?，18，因此共18个等差数列；再例如当公差为2时，取到最后剩17,19, 20.但前面能构成等差数列的三个数分别为1 3 5,2 4 6,3 5 7,4 6 8，?，16 18 20，看每组数的第一个数分别为1,2,3，?，16，共16个等差数列．
【易错点剖析】
容易遗忘公差为－1，－2，?，－9时的情况，有可能找不到公差每增加1个单位，等差数列个数减少4个的规律．
1．关于两个计数原理的应用范围：(1)如果完成一件事情有几类办法，这几类办法彼此之间相互独立，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，求完成这件事的方法种数时就用分类加法计数原理，分类加法计数原理可利用“并联电路”来理解．(2)如果完成一件事情要分几个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，
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才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的办法，求完成这件事的方法种数时就用分步乘法计数原理，分步乘法计数原理可利用“串联电路”理解．
2．应用两个计数原理的注意事项：(1)要真正理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步．(2)分类时要做到不重不漏．(3)对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·合肥调研)从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是( )
A．10 B．15 C．20 D．25
2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 3．(2010·佛山模拟)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个选续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要( )
A．3 360元 B．6 720元 C．4 320元 D．8 640元 4．(2011·杭州月考)如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数共有( )
A．240个 B．285个 C．231个 D．243个
5．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得－21分；选乙题答对得7分，答错得－7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( )
A．48 B．44 C．36 D．24 二、填空题(每小题4分，共12分) 6.
一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有________种．
7．(2011·安庆模拟)计划展出6幅不同的画，其中1幅水彩画，2幅油画，3幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列法有______种．
8．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果．
三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·开封模拟)从{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函
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数y＝ax＋bx＋c的系数，问能组成多少条抛物线经过原点且顶点在第一象限或第三象限？
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